3.21 Um divisor de tensão, como o da Figura 3.13, Problema de Projeto deve ser projetado de modo que v_{o}=k v_{s} quando a vazio \left(R_{L}=\infty\right), e v_{o}=\alpha v_{s} sob carga nominal \left(R_{L}=R_{o}\right). Observe que, por definição, \alpha<k<1.
a) Mostre que
R_{1}=\frac{k-\alpha}{\alpha k} R_{o}
e
R_{2}=\frac{k-\alpha}{\alpha(1-k)} R_{o}
b) Especifique os valores numéricos de R_{1} e R_{2} se k=0,85, \alpha=0,80 e R_{o}=34 \mathrm{k} \Omega.
c) Se v_{s}=60 \mathrm{~V}, especifique a potência máxima que será dissipada em R_{1} e R_{2}.
d) Suponha que o resistor de carga entre em curto-circuito por acidente. Qual é a potência dissipada em R_{1} e R_{2} ?

Passo 1

O enunciado pede projetar um divisor de tensão para que, sem carga ( R_{L}=\infty),
v_{o}=k\,v_{s}
e, com carga nominal ( R_{L}=R_{o}),
v_{o}=\alpha\,v_{s}
com \alpha<k<1.
O conteúdo é divisor de tensão e combinação de resistores em paralelo. Vamos usar a fórmula do divisor e a equivalência de R_{2} em paralelo com R_{o}.

Passo 2

Condição a vazio ( R_{L}=\infty): não há corrente no ramo de carga, então o divisor é só R_{1} e R_{2}.
v_{o} = v_{s}\,\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}} = k\,v_{s}
Logo,
\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}} = k\quad\Longrightarrow\quad R_{1} = \Bigl(\frac{1}{k}-1\Bigr)R_{2} = \frac{1-k}{k}\,R_{2}.

Passo 3

Condição de carga nominal ( R_{L}=R_{o}): o resistor R_{2} em paralelo com R_{o} tem equivalente
\!R_{\rm eq} = \frac{R_{2}\,R_{o}}{R_{2}+R_{o}}.
O divisor fica R_{1} em série com R_{\rm eq}, e
v_{o} = v_{s}\,\frac{R_{\rm eq}}{R_{1}+R_{\rm eq}} = \alpha\,v_{s}.
Assim,
\frac{R_{\rm eq}}{R_{1}+R_{\rm eq}} = \alpha\quad\Longrightarrow\quad R_{1} = \frac{1-\alpha}{\alpha}\,R_{\rm eq}.

Passo 4

Substituindo R_{1}=(1-k)R_{2}/k em R_{1}=(1-\alpha)R_{\rm eq}/\alpha e usando R_{\rm eq}=R_{2}R_{o}/(R_{2}+R_{o}), resolve-se para R_{2} e depois R_{1}. O resultado é
R_{1} = \frac{k-\alpha}{\alpha\,k}\;R_{o}, \qquad R_{2} = \frac{k-\alpha}{\alpha\,(1-k)}\;R_{o}.

Passo 5

Para k=0{,}85, \alpha=0{,}80 e R_{o}=34\;\mathrm{k}\Omega:
k-\alpha = 0{,}05, \quad \alpha\,k = 0{,}68, \quad \alpha\,(1-k)=0{,}12.
Logo
R_{1} \approx \frac{0{,}05}{0{,}68}\times 34\,000 \approx 2{,}50\;\mathrm{k}\Omega, \qquad R_{2} \approx \frac{0{,}05}{0{,}12}\times 34\,000 \approx 14{,}17\;\mathrm{k}\Omega.

Passo 6

Com v_{s}=60\;\mathrm{V}, vamos achar as potências máximas que ocorrem para R_{L}=\infty e R_{L}=R_{o}, e tomar o maior valor de cada resistor.
Sem carga ( R_{L}=\infty):
I = \frac{v_{s}}{R_{1}+R_{2}} = \frac{60}{2{,}50\times10^{3} + 14{,}17\times10^{3}} \approx 3{,}60\times10^{-3}\,\mathrm{A},
P_{1} = I^{2}R_{1}\approx (3{,}60\times10^{-3})^{2}\cdot 2{,}50\times10^{3}\approx 0{,}032\,\mathrm{W}, \qquad P_{2}\approx (3{,}60\times10^{-3})^{2}\cdot14{,}17\times10^{3}\approx 0{,}183\,\mathrm{W}.
Com carga nominal ( R_{L}=R_{o}):
R_{\rm eq}\approx10{,}00\;\mathrm{k}\Omega, \quad I = \frac{60}{2{,}50\times10^{3}+10{,}00\times10^{3}}\approx4{,}80\times10^{-3}\,\mathrm{A},
P_{1}\approx (4{,}80\times10^{-3})^{2}\cdot2{,}50\times10^{3}\approx0{,}058\,\mathrm{W}, \quad P_{2}=\frac{v_{o}^{2}}{R_{2}}=(0{,}8\cdot60)^{2}/(14{,}17\times10^{3})\approx0{,}163\,\mathrm{W}.
Máximas em operação normal:
P_{1,\max}\approx0{,}058\;\mathrm{W}, \quad P_{2,\max}\approx0{,}183\;\mathrm{W}.

Passo 7

Se o resistor de carga entrar em curto ( R_{L}=0), então R_{2} fica curto e toda tensão v_{s} cai em R_{1}.
I = \frac{60}{R_{1}} = \frac{60}{2{,}50\times10^{3}}\approx0{,}024\;\mathrm{A},
P_{1} = I^{2}R_{1}\approx(0{,}024)^{2}\cdot2{,}50\times10^{3}\approx1{,}44\;\mathrm{W}, \quad P_{2}=0.

Resposta

a) \displaystyle R_{1}=\frac{k-\alpha}{\alpha\,k}\,R_{o},\quad R_{2}=\frac{k-\alpha}{\alpha\,(1-k)}\,R_{o}.
b) R_{1}\approx2{,}50\;\mathrm{k}\Omega,\;R_{2}\approx14{,}17\;\mathrm{k}\Omega.
c) P_{1,\max}\approx0{,}058\;\mathrm{W},\;P_{2,\max}\approx0{,}183\;\mathrm{W}.
d) P_{1}\approx1{,}44\;\mathrm{W},\;P_{2}=0.

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