Para um inversor em ponte completa (Vcc
=220 V, R=20 Ohm, L=24 mH,
f=60 Hz ), determine as amplitudes dos termos das séries de Fourier para uma tensão na carga com onda quadrada, as amplitudes dos termos das séries de Fourier para a corrente e a potência absorvida pela carga.

Passo 1

O enunciado descreve um inversor em ponte completa alimentado por V_{cc}=220\:\mathrm V que gera na carga uma tensão quadrada de frequência f=60\:\mathrm{Hz}. A carga é série R\!-\!L com R=20\:\Omega e L=24\:\mathrm{mH}. Precisamos
  1. obter os coeficientes (amplitudes) da série de Fourier da tensão quadrada;
  2. calcular as amplitudes dos termos da corrente para cada harmônico;
  3. determinar a potência média dissipada na carga.

Passo 2

A tensão quadrada de amplitude \pm V_{cc} e período T=1/f só tem harmônicos ímpares. A série de Fourier em senos é
v(t)=\sum_{k=0}^{\infty}V_{n}\,\sin(n\omega t),
com \omega=2\pi f e, para n=2k+1,
V_{n}=\frac{4\,V_{cc}}{n\pi}\,,
enquanto V_{n}=0 para n par.

Passo 3

Cada harmônico vê impedância
Z_{n}=R + j\,n\omega L,\quad |Z_{n}|=\sqrt{R^{2}+(n\omega L)^{2}}.
Logo a amplitude da corrente no n-ésimo harmônico é
I_{n} =\frac{V_{n}}{|Z_{n}|} =\frac{4\,V_{cc}}{n\pi\,\sqrt{R^{2}+(n\omega L)^{2}}}\,.
Tomando \omega=2\pi\cdot60\:\mathrm{rad/s}\approx377\:\mathrm{rad/s} e L=0,024\:\mathrm H, tem-se numeração dos quatro primeiros harmônicos ímpares:
\begin{aligned} X_{1}&=\omega L\approx9,05\:\Omega,\quad |Z_{1}|=\sqrt{20^{2}+9{,}05^{2}}\approx21{,}95\:\Omega,\\\ V_{1}&=\frac{4\cdot220}{1\cdot\pi}\approx280{,}0\:\mathrm V,\quad I_{1}=\frac{280{,}0}{21{,}95}\approx12{,}8\:\mathrm A,\\[6pt] X_{3}&=3\omega L\approx27{,}1\:\Omega,\quad |Z_{3}|\approx33{,}72\:\Omega,\\\ V_{3}&=\frac{4\cdot220}{3\pi}\approx93{,}5\:\mathrm V,\quad I_{3}=\frac{93{,}5}{33{,}72}\approx2{,}77\:\mathrm A,\\[6pt] X_{5}&=5\omega L\approx45{,}2\:\Omega,\quad |Z_{5}|\approx49{,}47\:\Omega,\\\ V_{5}&=\frac{4\cdot220}{5\pi}\approx56{,}0\:\mathrm V,\quad I_{5}=\frac{56{,}0}{49{,}47}\approx1{,}13\:\mathrm A,\\[6pt] X_{7}&=7\omega L\approx63{,}3\:\Omega,\quad |Z_{7}|\approx66{,}43\:\Omega,\\\ V_{7}&=\frac{4\cdot220}{7\pi}\approx40{,}0\:\mathrm V,\quad I_{7}=\frac{40{,}0}{66{,}43}\approx0{,}60\:\mathrm A. \end{aligned}]

Passo 4

A potência média dissipada no resistor pela componente n é
P_{n} =\bigl(I_{n,\mathrm{rms}}\bigr)^{2}R =\frac{I_{n}^{2}}{2}\,R
e a potência total é
P =\sum_{k=0}^{\infty}P_{2k+1} =\sum_{k=0}^{\infty} \frac12\, \Bigl(\frac{4V_{cc}}{(2k+1)\pi\sqrt{R^{2}+((2k+1)\omega L)^{2}}}\Bigr)^{2} \,R.
Somando numericamente até o 7.º harmônico obtém-se
P\approx \underbrace{\frac{12{,}8^{2}}{2}20}_{\approx1627\:\mathrm W} + \underbrace{\frac{2{,}77^{2}}{2}20}_{\approx76{,}9\:\mathrm W} + \underbrace{\frac{1{,}13^{2}}{2}20}_{\approx12{,}8\:\mathrm W} + \underbrace{\frac{0{,}60^{2}}{2}20}_{\approx3{,}6\:\mathrm W} \approx1720\:\mathrm W.

Resposta

Coeficientes da tensão quadrada (só ímpares):
V_{n}=\frac{4\cdot220}{n\pi}\quad(n=1,3,5,\dots)
Amplitude dos quatro primeiros I_{n}:
I_{1}\approx12{,}8\:\mathrm A,\quad I_{3}\approx2{,}77\:\mathrm A,\quad I_{5}\approx1{,}13\:\mathrm A,\quad I_{7}\approx0{,}60\:\mathrm A.
Potência média na carga (somando até 7.º harmônico):
P\approx1{,}72\:\mathrm{kW}.

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