A prensa hidráulica é utilizada para elevação de equipamentos pesados, como automóveis. Caso o sistema se deseje no sistema abaixo elevar o carro de 1,6 toneladas em 0,6 \mathrm{~m} qual a força deve ser introduzida no pistão menor, sabendo que a A 1=0,2 \mathrm{~m}^{2} e A2=1 \mathrm{m}^{2} e o fluido é óleo ( \delta=0,8 ). Re: 4.080,96 \mathrm{~N}

Passo 1

O enunciado pede: qual a força a ser aplicada no pistão menor para elevar o carro de 1{,}6 toneladas em 0{,}6\\ \mathrm{m}, sabendo as áreas dos pistões e que o fluido é óleo com \delta=0{,}8.
Informações fornecidas (peguei A_1 e A_2 também da imagem):
  • Massa do carro: m_{\text{carro}} = 1{,}6\\ \mathrm{t} = 1.600\\ \mathrm{kg}.
  • Deslocamento vertical do pistão maior: h = 0{,}6\\ \mathrm{m}.
  • Área do pistão menor: A_1 = 0{,}2\\ \mathrm{m}^2.
  • Área do pistão maior: A_2 = 1\\ \mathrm{m}^2.
  • Densidade relativa do óleo: \delta = 0{,}8 (ou seja, \rho_{\text{oil}} = \delta\rho_{\text{água}}á).
  • Aceleração da gravidade (usada): g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
O que é pedido: encontrar a força aplicada no pistão menor F_1.

Passo 2

Conceito físico e equação básica (Pequena aula):
  • Princípio de Pascal: numa prensa hidráulica incompressível e em equilíbrio estático, a pressão transmitida pelo fluido é praticamente a mesma em todos os pontos do fluido conectado. Assim, a pressão produzida pela força no pistão menor é a mesma que age por baixo do pistão maior.
  • Sejam F_1 a força aplicada no pistão menor e F_2 a força resultante (para cima) exercida pelo fluido sobre o pistão maior. A relação é
\frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2}=p,
onde p é a pressão transmitida pelo fluido e A_1,A_2 são as áreas dos pistões.
  • Importante: o pistão maior precisa sustentar o peso do carro e também o peso da coluna de óleo que é elevada junto com o pistão. Logo,
F_2 = W_{\text{carro}} + W_{\text{óleo}},ó
onde W_{\text{carro}}=m_{\text{carro}}\,g e W_{\text{óleo}}=\rho_{\text{oil}}\,A_2\,h\,gó.
Agora vamos calcular cada termo passo a passo.

Passo 3

Calcular a densidade do óleo:
\rho_{\text{oil}}=\delta\cdot\rho_{\text{água}}=0{,}8\cdot1000\\ \mathrm{kg/m^3}=800\\ \mathrm{kg/m^3}.á
Calcular o peso do carro:
W_{\text{carro}}=m_{\text{carro}}\,g=1.600\cdot9{,}81\\ \mathrm{N}=15.696\\ \mathrm{N}.
Calcular o peso da coluna de óleo que sobe h=0{,}6\\ \mathrm{m} sob a área A_2:
W_{\text{óleo}}=\rho_{\text{oil}}\,A_2\,h\,g=800\cdot1\cdot0{,}6\cdot9{,}81\\ \mathrm{N}=4.708{,}8\\ \mathrm{N}.ó
Somando para obter a força que o fluido deve exercer no pistão maior:
F_2=W_{\text{carro}}+W_{\text{óleo}}=15.696+4.708{,}8=20.404{,}8\\ \mathrm{N}.ó

Passo 4

Usar a relação de pressões para achar F_1. A pressão sob o pistão maior é
p=\frac{F_2}{A_2}=\frac{20.404{,}8}{1}=20.404{,}8\\ \mathrm{Pa}.
Aplicando ao pistão menor:
F_1=p\,A_1=20.404{,}8\cdot0{,}2=4.080{,}96\\ \mathrm{N}.
Comentário didático final: a diferença entre a conta simples F_1=(m_{\text{carro}}g)\cdot\frac{A_1}{A_2} e a conta completa é justamente o peso do óleo que também é levantado pelo pistão maior. Por isso incluímos W_{\text{óleo}}ó. Para intuir o deslocamento: pela conservação de volume A_1 d_1 = A_2 d_2, como d_2=h=0{,}6\\ \mathrm{m} a pequena haste desce d_1=\dfrac{A_2}{A_1}d_2=5\cdot0{,}6=3\\ \mathrm{m} — só para você ter uma noção de quanto a haste pequena se move.

Resposta

F_1 = 4.080{,}96\\ \mathrm{N}

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