21- Se f: R^{2} \rightarrow R^{2} é uma transformação linear e se f(1,0)=(3,4) e f(0,1)=(-1,2), encontrar \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}).

Passo 1

O enunciado diz que f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é linear e nos dá as imagens dos vetores da base padrão:
f(1,0) = (3,4), \quad f(0,1) = (-1,2).
Sabemos da teoria de transformações lineares que basta conhecer a ação de f em uma base para determinar f em qualquer vetor.

Passo 2

Qualquer (x,y)\in\mathbb{R}^2 pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base padrão:
(x,y) = x\,(1,0) + y\,(0,1).
Pela linearidade de f,
f(x,y) = x\,f(1,0) + y\,f(0,1) = x\,(3,4) + y\,(-1,2) = \bigl(3x - y,\;4x + 2y\bigr).

Resposta

f(x,y) = \bigl(3x - y,\;4x + 2y\bigr).

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