Determine qual das seguintes funções são transformações lineares:
T: R^{4} \rightarrow R^{2}, tal que T(x, y, z, w)=(x z, y w)

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação T\colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^2 definida por
T(x,y,z,w) = (x z,\;y w).
O conteúdo aqui é verificar se T é linear, ou seja, se ela preserva soma de vetores e produto por escalar conforme a definição de transformação linear.

Passo 2

Vamos testar a condição de homogeneidade (produto por escalar). Seja \alpha\in\mathbb{R} e v=(x,y,z,w). Então
T(\alpha v) = T(\alpha x,\alpha y,\alpha z,\alpha w) = (\alpha x\cdot\alpha z,\;\alpha y\cdot\alpha w) = (\alpha^2 xz,\;\alpha^2 yw).
Por outro lado,
\alpha\,T(v) = \alpha\,(xz,\;yw) = (\alpha xz,\;\alpha yw).
Em geral \alpha^2 xz \neq \alpha xz quando \alpha\neq0,1, logo
T(\alpha v)\neq \alpha\,T(v),
o que já basta para concluir que T não preserva produto por escalar e, portanto, não é linear.

Resposta

A transformação T não é linear.

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