17- Se os vetores próprios da matriz \left[\begin{array}{lll}1 & a & b \\\\ 1 & c & d \\\\ 1 & e & f\end{array}\right] são \left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1 \\\\ 0 \\\\ -1\end{array}\right] e\left[\begin{array}{c}1 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right], determinar a,b,c,d,e e f.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
M = \begin{pmatrix} 1 & a & b\\\\ 1 & c & d\\\\ 1 & e & f \end{pmatrix}
e diz que os vetores próprios são \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}.
Para cada vetor próprio v_j existe um escalar \lambda_j tal que
M\,v_j = \lambda_j\,v_j.
Vamos usar essas três igualdades para montar um sistema e determinar a,b,c,d,e,f.
Passo 2
Para v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} e \lambda_1 temos
M\,\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + a + b\\\\ 1 + c + d\\\\ 1 + e + f \end{pmatrix} = \lambda_1 \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda_1\\lambda_1\\lambda_1\end{pmatrix}.
Isto implica
1 + a + b \;=\;1 + c + d\;=\;1 + e + f\;=\;\lambda_1,
ou seja
a + b = c + d = e + f.
Passo 3
Para v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix} e \lambda_2 temos