5.21 (a) Um gás obedece à equação de estado
, onde
é uma constante. Mostre que, para esse gás,
. (b) Se
, calcule
a
e 1 bar.
Passo 1
O enunciado dá a equação de estado
onde
é constante. Pede-se:
- (a) Mostrar que
- (b) Usando
, calcular a e .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação de estado relaciona
, , e a constante . - A diferença pedida é entre a entalpia molar do gás ideal e a do gás real, avaliadas nas mesmas
e . - Valores numéricos para (b):
, (apenas para referência) e .
Passo 2
Vamos usar uma identidade termodinâmica útil que liga variação da entalpia com pressão a volume e sua variação com temperatura. Começamos de
Derivando em relação a
a temperatura fixa (
constante) obtemos
Agora usamos uma relação de Maxwell que vem de
e da igualdade das derivadas mistas:
Substituindo na expressão anterior obtemos a identidade central que vamos usar:
Explicação intuitiva rápida: essa fórmula diz que a forma como
varia com
a
fixa depende não só do volume, mas também de quanto o volume muda quando a temperatura muda (a parte com
).
Passo 3
Aplicação dessa identidade ao gás ideal. Para um gás ideal temos
Calculamos
Substituindo na identidade,
Isso confirma a propriedade bem conhecida: para um gás ideal a entalpia depende só de
(não de
), logo
.
Passo 4
Agora aplicamos a identidade ao gás real descrito pela equação fornecida. Da equação
isolamos
:
Calculamos a derivada necessária:
Substituindo na identidade do Passo 2:
Portanto, para esse gás real temos a relação muito simples
Passo 5
Integramos a expressão em
para ligar entalpias em pressões diferentes. Integrando de
até
:
Agora usamos a observação física: no limite de pressão nula (
) o gás real torna-se ideal, então
Como a entalpia molar do gás ideal depende apenas de
, temos também
Substituindo essas igualdades em relação integrada obtemos
Reorganizando:
Isso prova a parte (a). Intuição: o parâmetro
desloca o volume, e esse deslocamento gera uma contribuição linear em
à entalpia do gás real em relação ao ideal.
Passo 6
Cálculo numérico para (b). Dado
e
. Usando a fórmula obtida:
Observação: a temperatura (
) não entra no resultado porque a diferença encontrada é linear em
e independente de
para essa equação de estado específica.
Resposta
(a)
(b)
(b)