21- \int 2 x \cdot \cos \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 2x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
Este é um caso clássico de integração por substituição, pois a derivada de x^{2} é 2x, que aparece multiplicando o cosseno.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2},
então
du = 2x\,dx.
Isso transforma exatamente o produto 2x\,dx em du.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int 2x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \int \cos(u)\,du.

Passo 4

A integral de \cos(u) em relação a u é
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = x^{2} no resultado:
\sin(u) + C = \sin\bigl(x^{2}\bigr) + C.

Resposta

\sin\bigl(x^{2}\bigr) + C

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