7- \int \frac{1}{1+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de função racional simples, usando a relação entre a derivada de \arctan x e 1/(1+x^2).

Passo 2

Sabemos da derivação de funções inversas que, se definirmos y = \arctan x, então x = \tan y e
\frac{dx}{dy} = \operatorname{sec}^{2}y = 1 + \tan^{2}y = 1 + x^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x^{2}}.
Ou seja,
\frac{d}{dx}\bigl(\arctan x\bigr) = \frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 3

Pelo teorema fundamental do cálculo, a função cuja derivada é 1/(1+x^{2}) é \arctan x. Logo,
\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \arctan x + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\arctan x + C

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