21-) O módulo da compressibilidade adiabática é definido por
Mostre que
Passo 1
O enunciado dá a definição do módulo da compressibilidade adiabática
e pede para mostrar a identidade
Vou trabalhar com as definições usuais de capacidades térmicas e das derivadas termodinâmicas:
,
. Vou também usar a definição do coeficiente de compressibilidade isoterma
adotada aqui como
de modo que
Passo 2
Escreve-se a diferencial da entropia
em variáveis naturais
e
. Pela definição de
e pela relação de Maxwell
tem-se
Aqui cada termo tem significado claro:
é a variação de entropia por variação de temperatura a volume fixo e
vem da dependência de
com
(essa igualdade é a aplicação direta da relação de Maxwell citada).
Passo 3
Num processo adiabático
constante, logo
. A partir de
isola-se a derivada
:
Isto diz quanto a temperatura varia com o volume quando se move ao longo de uma trajetória adiabatica (mantendo
fixo).
Passo 4
Usa-se a regra da cadeia para escrever a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo:
Substituindo
obtida no passo anterior resulta
Passo 5
Substitui-se a relação entre
e
. Como foi adotada a definição
, tem-se a inversa
Logo a expressão do passo anterior pode ser escrita como
Passo 6
Usa-se agora a identidade termodinâmica que relaciona
com derivadas de
. Parte-se da forma
Aplica-se a relação de inversão de derivadas à parcela
. Pela regra de diferenciação implícita para
constante a pressão fixa,
Substituindo na expressão para
obtém-se a forma útil
Passo 7
Isola-se o quadrado da derivada em
na identidade acima:
Passo 8
Volta-se à expressão do passo 5 e substitui-se o lado direito da igualdade do passo 7:
Simplificando o fator entre parênteses obtém-se
Passo 9
Multiplica-se pela definição de
. Lembrando
e a definição
, segue
que é exatamente a identidade pedida.