21-) O módulo da compressibilidade adiabática é definido por
B_{s}=-v\left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_{s}
Mostre que
B_{s}=-v\left(\frac{c_{p}}{c_{v} k_{T}}\right)_{s}

Passo 1

O enunciado dá a definição do módulo da compressibilidade adiabática
B_{s}=-v\left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_{s}
e pede para mostrar a identidade
B_{s}=-v\left(\frac{c_{p}}{c_{v}\,k_{T}}\right)_{s}.
Vou trabalhar com as definições usuais de capacidades térmicas e das derivadas termodinâmicas: c_{v}=T\left(\dfrac{\partial s}{\partial T}\right)_{v}, c_{p}=T\left(\dfrac{\partial s}{\partial T}\right)_{p}. Vou também usar a definição do coeficiente de compressibilidade isoterma k_{T} adotada aqui como
k_{T}=\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_{T},
de modo que
\left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_{T}=\frac{1}{k_{T}}.

Passo 2

Escreve-se a diferencial da entropia s em variáveis naturais T e v. Pela definição de c_{v} e pela relação de Maxwell \left(\dfrac{\partial s}{\partial v}\right)_{T}=\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{v} tem-se
ds=\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{v}dT+\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_{T}dv =\frac{c_{v}}{T}\,dT+\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{v}dv.
Aqui cada termo tem significado claro: \dfrac{c_{v}}{T}\,dT é a variação de entropia por variação de temperatura a volume fixo e \left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{v}dv vem da dependência de s com v (essa igualdade é a aplicação direta da relação de Maxwell citada).

Passo 3

Num processo adiabático s= constante, logo ds=0. A partir de
0=\frac{c_{v}}{T}\,dT+\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{v}dv
isola-se a derivada \left(\dfrac{\partial T}{\partial v}\right)_{s}:
\left(\frac{\partial T}{\partial v}\right)_{s} = -\,\frac{T\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{v}}{c_{v}}.
Isto diz quanto a temperatura varia com o volume quando se move ao longo de uma trajetória adiabatica (mantendo s fixo).

Passo 4

Usa-se a regra da cadeia para escrever a derivada parcial de P em relação a v mantendo s fixo:
\left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_{s} =\left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_{T} +\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{v}\left(\frac{\partial T}{\partial v}\right)_{s}.
Substituindo \left(\dfrac{\partial T}{\partial v}\right)_{s} obtida no passo anterior resulta
\left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_{s} =\left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_{T} - \frac{T\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{v}^{2}}{c_{v}}.

Passo 5

Substitui-se a relação entre \left(\dfrac{\partial P}{\partial v}\right)_{T} e k_{T}. Como foi adotada a definição k_{T}=\left(\dfrac{\partial v}{\partial P}\right)_{T}, tem-se a inversa
\left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_{T}=\frac{1}{k_{T}}.
Logo a expressão do passo anterior pode ser escrita como
\left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_{s} =\frac{1}{k_{T}}-\frac{T\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{v}^{2}}{c_{v}}.

Passo 6

Usa-se agora a identidade termodinâmica que relaciona c_{p}-c_{v} com derivadas de P. Parte-se da forma
c_{p}-c_{v}=T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{v}\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}.
Aplica-se a relação de inversão de derivadas à parcela \left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}. Pela regra de diferenciação implícita para P(v,T)= constante a pressão fixa,
\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p} = -\,\frac{\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{v}}{\left(\dfrac{\partial P}{\partial v}\right)_{T}}.
Substituindo na expressão para c_{p}-c_{v} obtém-se a forma útil
c_{p}-c_{v} = -\,T\frac{\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{v}^{2}}{\left(\dfrac{\partial P}{\partial v}\right)_{T}}.

Passo 7

Isola-se o quadrado da derivada em T na identidade acima:
T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{v}^{2} = -\,(c_{p}-c_{v})\left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_{T}.

Passo 8

Volta-se à expressão do passo 5 e substitui-se o lado direito da igualdade do passo 7:
\left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_{s} =\left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_{T} - \frac{1}{c_{v}}\Bigl[-(c_{p}-c_{v})\left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_{T}\Bigr] =\left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_{T}\left(1+\frac{c_{p}-c_{v}}{c_{v}}\right).
Simplificando o fator entre parênteses obtém-se
\left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_{s} =\frac{c_{p}}{c_{v}}\left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_{T}.

Passo 9

Multiplica-se pela definição de B_{s}. Lembrando \left(\dfrac{\partial P}{\partial v}\right)_{T}=\dfrac{1}{k_{T}} e a definição B_{s}=-v\left(\dfrac{\partial P}{\partial v}\right)_{s}, segue
B_{s}=-v\left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_{s} =-v\frac{c_{p}}{c_{v}}\left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_{T} =-v\left(\frac{c_{p}}{c_{v}\,k_{T}}\right),
que é exatamente a identidade pedida.

Resposta

B_{s}=-v\left(\frac{c_{p}}{c_{v}\,k_{T}}\right)

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