(Sadiku pag. 108) As cargas pontuais 5 nC e -2 nC estão localizadas nos pontos (2,0,4) e (-3,0,5) respectivamente. Calcule a força elétrica sobre uma carga de 10 nC localizada no ponto (1,-3,7). Para isso, use a fórmula da força elétrica na forma vetorial.

Passo 1

O enunciado dá três cargas pontuais e suas posições no espaço (coordenadas em metros) e pede a força elétrica sobre a carga de 10\\ \text{nC} no ponto (1,-3,7). Dados fornecidos:
  • Carga q_1 = 5\\ \text{nC} localizada em \,(2,0,4).
  • Carga q_2 = -2\\ \text{nC} localizada em \,(-3,0,5).
  • Carga onde se quer a força: q_3 = 10\\ \text{nC} em \,(1,-3,7).
O que se pede:
  • Calcular a força elétrica total \mathbf{F} sobre q_3, usando a forma vetorial da lei de Coulomb (superpondo as contribuições de q_1 e q_2).

Passo 2

Fórmula vetorial e ideia física (superposição).
A força elétrica exercida por uma carga pontual q_i sobre outra carga q localizada em \mathbf{r} é
\mathbf{F}_i = k\,\frac{q\,q_i}{\lVert \mathbf{r}-\mathbf{r}_i\rVert^3}\,(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i),
onde:
  • k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 8{,}988\times10^{9}\\ \text{N·m}^2\!/\,\text{C}^2,
  • \mathbf{r} é a posição da carga que sente a força (aqui q_3),
  • \mathbf{r}_i é a posição da carga fonte q_i,
  • \lVert \mathbf{r}-\mathbf{r}_i\rVert é a distância entre as cargas,
  • o vetor (\mathbf{r}-\mathbf{r}_i) aponta de q_i para q.
Como existem duas cargas fontes, a força total em q_3 é a soma vetorial:
\mathbf{F}=\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2.

Passo 3

Converter unidades e escrever vetores de separação.
Converter nanocoulombs para coulombs: 1\\ \text{nC}=10^{-9}\\ \text{C}.
q_1 = 5\times10^{-9}\\ \text{C},\qquad q_2 = -2\times10^{-9}\\ \text{C},\qquad q_3 = 10\times10^{-9}\\ \text{C}.
Posições:
\mathbf{r}_1=(2,0,4),\quad \mathbf{r}_2=(-3,0,5),\quad \mathbf{r}=\mathbf{r}_3=(1,-3,7).
Vetores separação (\mathbf{r}-\mathbf{r}_i):
\mathbf{r}-\mathbf{r}_1 = (1-2,\,-3-0,\;7-4)=(-1,-3,3).
\mathbf{r}-\mathbf{r}_2 = (1-(-3),\,-3-0,\;7-5)=(4,-3,2).

Passo 4

Calcular as distâncias (normas).
Distâncias:
\lVert \mathbf{r}-\mathbf{r}_1\rVert = \sqrt{(-1)^2+(-3)^2+3^2}=\sqrt{19}\approx 4{,}3589\\ \text{m},
\lVert \mathbf{r}-\mathbf{r}_2\rVert = \sqrt{4^2+(-3)^2+2^2}=\sqrt{29}\approx 5{,}3852\\ \text{m}.
Observação útil para cálculo: \lVert \mathbf{r}-\mathbf{r}_i\rVert^3=(\lVert \mathbf{r}-\mathbf{r}_i\rVert^2)\,\lVert \mathbf{r}-\mathbf{r}_i\rVert=(\text{soma dos quadrados})\times a raiz.
Logo
\lVert \mathbf{r}-\mathbf{r}_1\rVert^3 = 19\sqrt{19}\approx 82{,}8181,
\lVert \mathbf{r}-\mathbf{r}_2\rVert^3 = 29\sqrt{29}\approx 156{,}1698.

Passo 5

Calcular os fatores escalares de cada contribuição.
Usamos k\approx 8{,}988\times 10^{9}\\ \text{N·m}^2\!/\,\text{C}^2.
Produto de cargas:
q_3 q_1 = (10\times10^{-9})(5\times10^{-9})=5{,}0\times10^{-17}\\ \text{C}^2,
q_3 q_2 = (10\times10^{-9})(-2\times10^{-9})=-2{,}0\times10^{-17}\\ \text{C}^2.
Fatores escalares (dividindo por as normas cúbicas):
\alpha_1 = k\,\frac{q_3 q_1}{\lVert \mathbf{r}-\mathbf{r}_1\rVert^3} =8{,}988\times10^{9}\cdot\frac{5{,}0\times10^{-17}}{82{,}8181} \approx 5{,}4247\times10^{-9}.
\alpha_2 = k\,\frac{q_3 q_2}{\lVert \mathbf{r}-\mathbf{r}_2\rVert^3} =8{,}988\times10^{9}\cdot\frac{-2{,}0\times10^{-17}}{156{,}1698} \approx -1{,}1514\times10^{-9}.
As unidades de \alpha_i são N/m (porque ao multiplicar pelo vetor separação em metros obtém-se força em N).

Passo 6

Calcular as componentes vetoriais de \mathbf{F}_1 e \mathbf{F}_2.
Multiplicando os escalares pelos vetores separação:
Para \mathbf{F}_1=\alpha_1(\mathbf{r}-\mathbf{r}_1):
\mathbf{F}_1 \approx 5{,}4247\times10^{-9}\,(-1,-3,3) =(-5{,}4247\times10^{-9},\,-1{,}6274\times10^{-8},\;1{,}6274\times10^{-8})\\ \text{N}.
Para \mathbf{F}_2=\alpha_2(\mathbf{r}-\mathbf{r}_2):
\mathbf{F}_2 \approx -1{,}1514\times10^{-9}\,(4,-3,2) =(-4{,}6056\times10^{-9},\;3{,}4542\times10^{-9},\,-2{,}3028\times10^{-9})\\ \text{N}.

Passo 7

Somar as contribuições para obter a força total.
Somando componente a componente:
F_x = -5{,}4247\times10^{-9} + (-4{,}6056\times10^{-9}) \approx -1{,}0030\times10^{-8}\\ \text{N},
F_y = -1{,}6274\times10^{-8} + 3{,}4542\times10^{-9} \approx -1{,}2820\times10^{-8}\\ \text{N},
F_z = 1{,}6274\times10^{-8} + (-2{,}3028\times10^{-9}) \approx 1{,}3971\times10^{-8}\\ \text{N}.
Portanto a força total em forma vetorial é (aproximando a 3 algarismos significativos nas componentes):
\mathbf{F}\approx (-1{,}00\times10^{-8},\,-1{,}28\times10^{-8},\;1{,}40\times10^{-8})\\ \text{N}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{F}\approx\langle -1{,}00\times10^{-8},\\\ -1{,}28\times10^{-8},\\\ 1{,}40\times10^{-8}\rangle\\ \text{N}

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