( 21 / 2 pontos) Encontre o volume da região limitada pela superfície dada em coordenadas esféricas por rho=2 sin phi.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região em coordenadas esféricas limitada por
rho = 2sinphi
Para resolver usamos o elemento de volume
dV = rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
e reconhecemos que theta varia de 0 a 2pi, phi de 0 a pi e, para cada phi, rho vai de 0 até 2sinphi.

Passo 2

Montamos a integral tripla e executamos primeiro a integração em rho:
V = integral0^2pi!dtheta integral0^pi!dphi integral0^2sinphirho^2sinphi,drho
A integral em rho é
integral0^2sinphirho^2,drho =[rho^33]0^2sinphi =8sin^3phi3,
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V =integral0^2pi!dtheta integral0^pi8sin^3phi3,sinphi,dphi =83,2pi integral0^pisin^4phi,dphi

Passo 3

Calculamos a integral
integral0^pisin^4phi,dphi =3pi8,
usando a identidade sin^4phi=tfrac38-tfrac12cos(2phi)+tfrac18cos(4phi). Substituindo, obtemos
V=83,2picdot3pi8 =2pi^2

Resposta

O volume da região é 2pi^2.

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