Questão 1. (1,5 ponto ) Calcule a solução geral de 2 x^2 y^prime prime+3 x y^prime-y=0, x>0, sabendo que y1(x)=1x é uma olução da mesma.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de Euler–Cauchy
2x^2y''+3xy'-y=0, x>0,
sabendo que já conhecemos uma solução y1(x)=tfrac1x. Para resolver, vamos usar o método de equação de Euler, que propõe soluções da forma
y(x)=x^m

Passo 2

Assumimos y(x)=x^m. Então
y'(x)=m,x^m-1, y''(x)=m(m-1),x^m-2
Substituindo na equação original,
2x^2l[m(m-1)x^m-2r]+3xl[mx^m-1r]-x^m=0

Passo 3

Dentro dos colchetes e fatorando x^m obtemos
2m(m-1)x^m+3m,x^m-x^m=0 Longrightarrow l[2m(m-1)+3m-1r]x^m=0
Como x^mneq0, a equação característica é
2m(m-1)+3m-1=0 ;Longrightarrow; 2m^2+m-1=0

Passo 4

Resolvendo 2m^2+m-1=0 por Bhaskara,
m=-1pmraiz1+84 =-1pm34,
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m1=-1, m2=tfrac12
Esses expoentes geram duas soluções independentes x^-1 e x^1/2.

Resposta

A solução geral é
y(x)=C1,x^-1+C2,x^tfrac12,
ou seja
y(x)=C1x+C2raizx

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