Questão 3. ( 2,5 pontos ) Encontre a solução geral da Equação Diferencial Ordinária 4 x^2 y^prime prime-8 x y^prime+9 y=sen(2 x) sabendo que y1(x)=x^32 é uma solução da EDO homogênea associada a equação dada.
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Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Euler
4x^2y''-8x,y'+9y=sin(2x)
com a informação de que uma solução da homogênea associada é y1(x)=x^3/2. Vamos usar o método da variação de parâmetros para equações de segunda ordem não constantes.

Passo 2

Primeiro resolvemos a homogênea
4x^2y''-8x,y'+9y=0
Assumindo y=x^r obtemos a equação característica
4r(r-1)-8r+9=0 ;Longrightarrow; 4r^2-12r+9=0 ;Longrightarrow; (r-tfrac32)^2=0,
ou seja r=3/2 dupla. Logo a solução geral homogênea é
yh(x)=C1x^3/2+C2,x^3/2ln x

Passo 3

Colocamos a equação completa em forma padrão
y''- 2xy' + 94x^2,y =sin(2x)4x^2
Aqui p(x)=-2/x, q(x)=9/(4x^2) e g(x)=sin(2x)/(4x^2).

Passo 4

No método da variação de parâmetros precisamos do Wronskiano
W(x)= y1&y2 y1'&y2' ,
onde y2(x)=x^3/2ln x. Calculando, encontra-se
W(x)=x^2

Passo 5

As fórmulas para as funções auxiliares são
u1'(x)=-y2(x),g(x)W(x), u2'(x)=y1(x),g(x)W(x)
Substituindo
u1'(x) =-x^3/2ln x;sin(2x)4x^2x^2 =-ln x,sin(2x)4,x^5/2,
u2'(x) =x^3/2;sin(2x)4x^2x^2 =sin(2x)4,x^5/2
Integramos indeterminadamente para obter u1(x) e u2(x).

Passo 6

A solução particular é
yp(x) =-y1(x)integral u1'(x),dx + y2(x)integral u2'(x),dx =-x^3/2!integral -ln x,sin(2x)4x^5/2dx + x^3/2ln x!integral sin(2x)4x^5/2dx
Não há forma elementar simples para essas integrais, então deixamos em forma integral.

Resposta

A solução geral é
boxed y(x) =C1x^3/2+C2x^3/2ln x ;+; x^3/2l[ integral ln x,sin(2x)4x^5/2dx r] ;-; x^3/2ln xl[ integral sin(2x)4x^5/2dx r] !,
onde C1,C2 são constantes arbitrárias.

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