(
pontos) Utilize coordenadas polares para determinar o volume da esfera de raio
e a área do círculo de raio
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
– a área do círculo de raio usando coordenadas polares;
– o volume da esfera de raio usando coordenadas esféricas.
Para isso precisamos lembrar dos elementos de área e volume em cada sistema:
em polares e
em esféricas.
– a área do círculo de raio
– o volume da esfera de raio
Para isso precisamos lembrar dos elementos de área e volume em cada sistema:
Passo 2
Para o círculo de raio
em coordenadas polares temos a região
e o elemento de área é
. Assim
Passo 3
Calculando a integral em
e depois em
:
Passo 4
Para a esfera de raio
em coordenadas esféricas usamos a região
com elemento de volume
. Assim
Passo 5
Integramos primeiro em
:
Em seguida a parte angular separa em
Multiplicando tudo:
Resposta
Área do círculo:
Volume da esfera:
Volume da esfera: