( 21 / 2 pontos) Utilize coordenadas polares para determinar o volume da esfera de raio r e a área do círculo de raio r.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
– a área do círculo de raio r usando coordenadas polares;
– o volume da esfera de raio r usando coordenadas esféricas.
Para isso precisamos lembrar dos elementos de área e volume em cada sistema:
,dA = rho,drho,dtheta em polares e
,dV = rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta em esféricas.

Passo 2

Para o círculo de raio r em coordenadas polares temos a região
0 <= rho <= r, 0 <= theta <= 2pi
e o elemento de área é ,dA = rho,drho,dtheta. Assim
A = integral0^2piintegral0^r rho,drho,dtheta

Passo 3

Calculando a integral em rho e depois em theta:
integral0^2pil[tfracrho^22r]0^rdtheta = integral0^2pir^22,dtheta = r^22,l(2pir) = pi r^2

Passo 4

Para a esfera de raio r em coordenadas esféricas usamos a região
0 <= rho <= r, 0 <= varphi <= pi, 0 <= theta <= 2pi
com elemento de volume ,dV = rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta. Assim
V = integral0^2piintegral0^piintegral0^r rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta

Passo 5

Integramos primeiro em rho:
integral0^rrho^2,drho = r^33
Em seguida a parte angular separa em
integral0^pisinvarphi,dvarphi = 2, integral0^2pidtheta = 2pi
Multiplicando tudo:
V = r^33times2times2pi = 4pi3,r^3

Resposta

Área do círculo: pi r^2
Volume da esfera: 4pi3,r^3

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