Usando o Teorema de Green, calcule a área da região limitada pela reta y=x e pela curva (x, y)= (t^3+t, t^5+t), com 0 <= t <= 1. Desenhe a região. Resp.: 524.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela reta y=x e pela curva parametrizada
(x(t),y(t)) = (t^3+t,;t^5+t), 0<= t<=1,
usando o Teorema de Green. Para isso vamos delinear o contorno C dessa região, escolher orientação positiva (sentido anti-horário), e aplicar a fórmula da área
Área = 12ointCl(x,dy - y,dxr) Á
Também observamos que a curva e a reta se encontram em dois pontos, que serão os vértices da região que vamos desenhar: no plano, a reta y=x é uma linha de 45° e a curva parte de (0,0), sobe suavemente acima de y=x e termina em (2,2). A região está entre essa curva e o segmento de reta que une (0,0) a (2,2).

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção resolvendo
t^5 + t = t^3 + t ;Longrightarrow; t^5 - t^3 = 0 ;Longrightarrow; t^3(t^2-1)=0 ;Longrightarrow; t=0 ou t=1
Para t=0 temos (x,y)=(0,0) e para t=1 temos (x,y)=(2,2).

Passo 3

Definimos o contorno C positivamente orientado assim:
– curva C1: (x(t),y(t)) de t=0 até t=1, indo de (0,0) a (2,2);
– reta C2: segmento de reta em y=x de (2,2) de volta a (0,0).
Logo
ointC (x,dy - y,dx) =integralC1(x,dy - y,dx)+integralC2(x,dy - y,dx)

Passo 4

Em C1, temos
x=t^3+t, y=t^5+t,
dx=(3t^2+1),dt, dy=(5t^4+1),dt
Portanto o integrando é
x,dy - y,dx = (t^3+t)(5t^4+1),dt - (t^5+t)(3t^2+1),dt
Expandindo e agrupando termos dá
(5t^7+5t^5+t^3+t) - (3t^7+t^5+3t^3+t) =2t^7+4t^5-2t^3

Passo 5

Calculamos a integral em C1:
integral0^1(2t^7+4t^5-2t^3),dt =2cdot18+4cdot16-2cdot14 =14+23-12 =512

Passo 6

Em C2, a reta de (2,2) a (0,0) pode ser parametrizada por
x(s)=2(1-s), y(s)=2(1-s), 0<= s<=1,
dx=-2,ds, dy=-2,ds
Logo
x,dy - y,dx =2(1-s)(-2),ds - 2(1-s)(-2),ds =0,
e
integralC2(x,dy - y,dx)=0.

Passo 7

Somando as contribuições e aplicando a fórmula da área,
ointC(x,dy - y,dx) =512+0 =512,
Área = 12cdot512 =524 Á

Resposta

524

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