Usando o Teorema de Green, calcule a área da região limitada pela reta
e pela curva
, com
. Desenhe a região. Resp.:
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pela reta
e pela curva parametrizada
usando o Teorema de Green. Para isso vamos delinear o contorno
dessa região, escolher orientação positiva (sentido anti-horário), e aplicar a fórmula da área
Também observamos que a curva e a reta se encontram em dois pontos, que serão os vértices da região que vamos desenhar: no plano, a reta
é uma linha de 45° e a curva parte de
, sobe suavemente acima de
e termina em
. A região está entre essa curva e o segmento de reta que une
a
.
Passo 2
Encontramos os pontos de interseção resolvendo
Para
temos
e para
temos
.
Passo 3
Definimos o contorno
positivamente orientado assim:
– curva :
de
até
, indo de
a
;
– reta : segmento de reta em
de
de volta a
.
Logo
– curva
– reta
Logo
Passo 4
Em
, temos
Portanto o integrando é
Expandindo e agrupando termos dá
Passo 5
Calculamos a integral em
:
Passo 6
Em
, a reta de
a
pode ser parametrizada por
Logo
e
.
Passo 7
Somando as contribuições e aplicando a fórmula da área,