1. Resolva os ítens abaixo sobre fatores integrantes:
    Determine todas as funções f que tornam exata a equação diferencial (y^2 sen x) d x+y f(x) d y=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(y^2sin xr),dx ;+;y,f(x),dy ;=;0
e pede todas as funções f que tornam essa equação exata. Lembrando que uma equação M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 é exata se
partial Mpartial y ;=;partial Npartial x

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=y^2sin x, N(x,y)=y,f(x)
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partial Mpartial y =2ysin x, partial Npartial x =y,f'(x)

Passo 3

Para exatidão exige-se
2ysin x ;=;y,f'(x)
Se yneq0, dividindo por y obtém-se
f'(x)=2sin x

Passo 4

Basta agora integrar em x:
f(x)=integral 2sin x,dx =-2cos x + C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

Todas as funções que tornam a equação exata são
f(x)=-2cos x + C, CinR

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