21 Em um programa de auditório, o apresentador explica a um participante que três etiquetas, numeradas de 1 a 3, foram distribuídas em três envelopes, e cada envelope contém uma única etiqueta e está lacrado. O participante deve colocar os envelopes sobre uma mesa, tentando formar, da esquerda para a direita, a sequência crescente: 1,2 e 3 .
a) Calcule a probabilidade de que os três envelopes sejam colocados nas posições corretas, istó, o primeiro da esquerda com o número 1 , o segundo com o número 2 e o terceiro com o número 3.
b) Calcule a probabilidade de que sejam colocados apenas dois envelopes nas posições

Passo 1

O enunciado descreve um experimento em que três etiquetas numeradas de 1 a 3 são distribuídas ao acaso em três posições (da esquerda para a direita). Nós queremos duas probabilidades distintas:
a) de a sequência ficar exatamente 1,2,3;
b) de exatamente dois envelopes ocuparem a posição correta.
Para isso, vamos usar contagem de permutações e o conceito de pontos fixos (fixed points) em permutações.

Passo 2

Primeiro, o número total de maneiras de dispor as três etiquetas é o número de permutações de 3 objetos, isto é
3! \;=\; 6.
Cada uma dessas 6 ordenações é igualmente provável.

Passo 3

Para a parte (a), a única disposição que dá a sequência crescente 1,2,3 é a permutação identidade. Logo, há exatamente 1 caso favorável em 6 possíveis. Assim,
\Pr(\text{exatamente }1,2,3) =\frac{1}{6}.

Passo 4

Para a parte (b), queremos contar permutações de \{1,2,3\} que deixem exatamente dois elementos na posição correta. Mas em qualquer permutação, se dois elementos estão fixos, o terceiro não tem para onde “trocar” e acaba também fixo. Portanto não existem permutações com exatamente dois pontos fixos. Assim, o número de casos favoráveis é 0, e
\Pr(\text{exatamente dois corretos}) =0.

Resposta

a) \tfrac16
b) 0

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