21 Em um programa de auditório, o apresentador explica a um participante que três etiquetas, numeradas de 1 a 3, foram distribuídas em três envelopes, e cada envelope contém uma única etiqueta e está lacrado. O participante deve colocar os envelopes sobre uma mesa, tentando formar, da esquerda para a direita, a sequência crescente: 1,2 e 3 .
a) Calcule a probabilidade de que os três envelopes sejam colocados nas posições corretas, istó, o primeiro da esquerda com o número 1 , o segundo com o número 2 e o terceiro com o número 3.
b) Calcule a probabilidade de que sejam colocados apenas dois envelopes nas posições
a) Calcule a probabilidade de que os três envelopes sejam colocados nas posições corretas, istó, o primeiro da esquerda com o número 1 , o segundo com o número 2 e o terceiro com o número 3.
b) Calcule a probabilidade de que sejam colocados apenas dois envelopes nas posições
Passo 1
O enunciado descreve um experimento em que três etiquetas numeradas de
a
são distribuídas ao acaso em três posições (da esquerda para a direita). Nós queremos duas probabilidades distintas:
a) de a sequência ficar exatamente ;
b) de exatamente dois envelopes ocuparem a posição correta.
Para isso, vamos usar contagem de permutações e o conceito de pontos fixos (fixed points) em permutações.
a) de a sequência ficar exatamente
b) de exatamente dois envelopes ocuparem a posição correta.
Para isso, vamos usar contagem de permutações e o conceito de pontos fixos (fixed points) em permutações.
Passo 2
Primeiro, o número total de maneiras de dispor as três etiquetas é o número de permutações de
objetos, isto é
Cada uma dessas
ordenações é igualmente provável.
Passo 3
Para a parte (a), a única disposição que dá a sequência crescente
é a permutação identidade. Logo, há exatamente
caso favorável em
possíveis. Assim,
Passo 4
Para a parte (b), queremos contar permutações de
que deixem exatamente dois elementos na posição correta. Mas em qualquer permutação, se dois elementos estão fixos, o terceiro não tem para onde “trocar” e acaba também fixo. Portanto não existem permutações com exatamente dois pontos fixos. Assim, o número de casos favoráveis é
, e
Resposta
a)
b)
b)