\iint_{R} \frac{x y^{2}}{x^{2}+1} d A, R=\{(x, y) 0 \leq x \leq 1,-3 \leq y \leq 5\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\frac{x\,y^{2}}{x^{2}+1}\,dA, \quad R=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\,-3\le y\le5\}.
O conteúdo é integração dupla em retângulo, e vamos usar o Teorema de Fubini para transformar em integral iterada, aproveitando que
\tfrac{x\,y^{2}}{x^{2}+1}=\frac{x}{x^{2}+1}\,y^{2}, ou seja, o integrando é produto de função de x por função de y.

Passo 2

Escrevemos a integral dupla como iterada:
\iint_{R}\frac{x\,y^{2}}{x^{2}+1}\,dA =\int_{x=0}^{1}\Bigl[\int_{y=-3}^{5}\frac{x}{x^{2}+1}\,y^{2}\,dy\Bigr]dx.
Dentro da integral em y, \tfrac{x}{x^{2}+1} é constante, então
\int_{y=-3}^{5}\frac{x}{x^{2}+1}\,y^{2}\,dy =\frac{x}{x^{2}+1}\,\int_{y=-3}^{5}y^{2}\,dy.

Passo 3

Calculamos a integral de y^{2} de -3 a 5:
\int_{y=-3}^{5}y^{2}\,dy =\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{-3}^{5} =\frac{5^{3}}{3}-\frac{(-3)^{3}}{3} =\frac{125}{3}-\bigl(-\frac{27}{3}\bigr) =\frac{152}{3}.

Passo 4

Substituindo de volta,
\iint_{R}\frac{x\,y^{2}}{x^{2}+1}\,dA =\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,\frac{152}{3}\,dx =\frac{152}{3}\,\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 5

Agora calculemos
\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
Fazemos u=x^{2}+1, de modo que du=2x\,dx. Logo
\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx =\frac{1}{2}\int_{u=1}^{2}\frac{1}{u}\,du =\frac{1}{2}\bigl[\ln u\bigr]_{1}^{2} =\frac{1}{2}\ln 2.

Passo 6

Multiplicando pelo fator \tfrac{152}{3}, obtemos
\iint_{R}\frac{x\,y^{2}}{x^{2}+1}\,dA =\frac{152}{3}\cdot\frac{1}{2}\ln 2 =\frac{76}{3}\,\ln 2.

Resposta

\frac{76}{3}\ln 2.

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