23- Quantos são os anagramas da palavra “ERVILHAS”, sendo que comecem com a letra A e terminem por vogal?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantos anagramas da palavra \text{ERVILHAS} começam com a letra A e terminam por vogal.\n
Informações dadas e observações iniciais:
  • A palavra é \text{ERVILHAS}. Seus caracteres (letras) são E, R, V, I, L, H, A, S.\n
  • O total de letras é 8.\n
  • As vogais presentes na palavra são E, I, A (três vogais). As consoantes são R, V, L, H, S (cinco consoantes).\n
  • Condições do problema: o anagrama deve ter a primeira posição ocupada pela letra A e a última posição deve ser uma vogal.\n
  • Importante: cada letra aparece apenas uma vez na palavra original (todas as letras são distintas), então não podemos reutilizar uma letra que já foi colocada em outra posição.

Passo 2

Estratégia geral (sem resolver ainda): como as letras são todas distintas, vamos fixar as posições que têm restrições (primeira e última). Depois contamos de quantas maneiras podemos escolher a vogal final e de quantas maneiras permutamos as letras restantes nas posições livres. Essa é uma contagem por princípio multiplicativo: número total = (nº opções para a última vogal) × (nº permutações das letras restantes).

Passo 3

Escolher a vogal para a última posição:\n
  • A primeira posição já está fixada como A. Como só existe um A na palavra, o A não pode mais ser usado na última posição.\n
  • Portanto a última posição pode ser apenas uma das vogais restantes: E ou I.\n
  • Número de escolhas para a vogal final: 2.

Passo 4

Contar as letras que restam para preencher as posições do meio:\n
  • Depois de fixarmos A na primeira posição e uma vogal (escolhida entre E e I) na última, sobram 8-2=6 letras não utilizadas.\n
  • Essas 6 letras são todas distintas.\n
  • O número de maneiras de arranjar 6 letras distintas em 6 posições é 6!.\n
    Agora uma mini-aula sobre fatorial para você lembrar como calcular sem calculadora: \n
  • Por definição, n! (lê-se “ n fatorial”) é o produto dos inteiros positivos de 1 até n:\n n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1.\n
  • Então\n 6! = 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1.\n
  • Calculando passo a passo (para fazer na prova sem calculadora): 6\cdot5=30, 30\cdot4=120, 120\cdot3=360, 360\cdot2=720, 720\cdot1=720.\n
  • Logo 6! = 720.

Passo 5

Aplicar o princípio multiplicativo para obter o total:\n
  • Temos 2 escolhas para a vogal final (Passo 3).\n
  • Para cada escolha, existem 6! arranjos das 6 letras restantes (Passo 4).\n
  • Portanto o número total de anagramas que satisfazem as condições é\n 2 \times 6! = 2 \times 720 = 1440.

Passo 6

Verificação rápida de casos-limite (para ficar seguro):\n
  • Não estamos contando anagramas que terminem em A porque o A já foi usado na primeira posição e não há outro A.\n
  • As vogais possíveis no final foram corretamente reduzidas a E e I, e as permutações do meio foram contadas sem repetir letras. Tudo consistente.

Resposta

1440

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