23- Quantos são os anagramas da palavra “ERVILHAS”, sendo que comecem com a letra A e terminem por vogal?
Passo 1
O enunciado pede: contar quantos anagramas da palavra
começam com a letra
e terminam por vogal.\n
Informações dadas e observações iniciais:
Informações dadas e observações iniciais:
- A palavra é
. Seus caracteres (letras) são .\n - O total de letras é
.\n - As vogais presentes na palavra são
(três vogais). As consoantes são (cinco consoantes).\n - Condições do problema: o anagrama deve ter a primeira posição ocupada pela letra
e a última posição deve ser uma vogal.\n - Importante: cada letra aparece apenas uma vez na palavra original (todas as letras são distintas), então não podemos reutilizar uma letra que já foi colocada em outra posição.
Passo 2
Estratégia geral (sem resolver ainda): como as letras são todas distintas, vamos fixar as posições que têm restrições (primeira e última). Depois contamos de quantas maneiras podemos escolher a vogal final e de quantas maneiras permutamos as letras restantes nas posições livres. Essa é uma contagem por princípio multiplicativo: número total = (nº opções para a última vogal) × (nº permutações das letras restantes).
Passo 3
Escolher a vogal para a última posição:\n
- A primeira posição já está fixada como
. Como só existe um na palavra, o não pode mais ser usado na última posição.\n - Portanto a última posição pode ser apenas uma das vogais restantes:
ou .\n - Número de escolhas para a vogal final:
.
Passo 4
Contar as letras que restam para preencher as posições do meio:\n
- Depois de fixarmos
na primeira posição e uma vogal (escolhida entre e ) na última, sobram letras não utilizadas.\n - Essas
letras são todas distintas.\n - O número de maneiras de arranjar
letras distintas em posições é .\n
Agora uma mini-aula sobre fatorial para você lembrar como calcular sem calculadora: \n - Por definição,
(lê-se “ fatorial”) é o produto dos inteiros positivos de até :\n \n - Então\n
\n - Calculando passo a passo (para fazer na prova sem calculadora):
, , , , .\n - Logo
.
Passo 5
Aplicar o princípio multiplicativo para obter o total:\n
- Temos
escolhas para a vogal final (Passo 3).\n - Para cada escolha, existem
arranjos das letras restantes (Passo 4).\n - Portanto o número total de anagramas que satisfazem as condições é\n
Passo 6
Verificação rápida de casos-limite (para ficar seguro):\n
- Não estamos contando anagramas que terminem em
porque o já foi usado na primeira posição e não há outro .\n - As vogais possíveis no final foram corretamente reduzidas a
e , e as permutações do meio foram contadas sem repetir letras. Tudo consistente.