24- Um centro cirúrgico de um hospital necessita programar três cirurgias de joelho e duas cirurgias de quadris em um dia. Denotamos uma cirurgia de joelho e de quadris como j e q, respectivamente. Qual é o número de sequências possíveis das três cirurgias de joelho e das duas cirurgias de quadris?

Passo 1

O enunciado dá que no dia serão realizadas três cirurgias de joelho e duas cirurgias de quadril. Denotamos uma cirurgia de joelho por j e uma cirurgia de quadril por q. O que se pede é: quantas sequências diferentes (ordens) das cinco cirurgias são possíveis, levando em conta que as três j são indistinguíveis entre si e as duas q também são indistinguíveis entre si?
Informações relevantes:
  • 3 cirurgias do tipo j.
  • 2 cirurgias do tipo q.
  • No total, 3+2=5 cirurgias a ordenar.
  • Cirurgias do mesmo tipo são indistinguíveis (trocar duas j entre si não gera sequência nova).

Passo 2

Vamos entender a ideia básica (sem ainda calcular): se todas as cinco cirurgias fossem diferentes entre si, o número de ordens possíveis seria o número de permutações de 5 objetos distintos, que é 5!. Aqui, porém, existem repetições (objetos indistinguíveis), então certas permutações entre si contam a mesma sequência. Precisamos corrigir esse excesso de contagem dividido pelo número de permutações internas das iguais.
Explicando o conceito de fatorial (que usamos em permutações):
  • Para um inteiro n\ge1, definimos
n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1.
  • Exemplo: 5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1.
    O fatorial conta o número de maneiras de ordenar n objetos distintos.

Passo 3

Por que dividir? Uma maneira intuitiva: suponha que marcássemos as três cirurgias de joelho como j_1,j_2,j_3 e as duas de quadril como q_1,q_2. Se todas estivessem rotuladas, o total de ordens seria 5!. Mas permutar entre si j_1,j_2,j_3 não cria sequências distintas no problema real (pois todas são j idênticas); existem 3! maneiras de permutar esses rótulos sem mudar a sequência observada. De modo semelhante, existe 2! permutações dos q que não mudam a sequência real. Então devemos dividir por 3! e por 2! para eliminar as contagens repetidas.
Isso nos leva à fórmula de permutações de uma multiconjunto:
\text{número de sequências} = \frac{n!}{n_1!\,n_2!\,\cdots},úê
onde n é o total de objetos e n_1,n_2,\dots são as multiplicidades de cada tipo.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
  • n=5 (total de cirurgias),
  • multiplicidades n_1=3 para j e n_2=2 para q.
Logo o número de sequências possíveis é
\frac{5!}{3!\,2!}.

Passo 5

Podemos simplificar essa expressão para facilitar a avaliação manual. Escrevendo 5!=5\cdot4\cdot3! e cancelando 3! no numerador e denominador, obtemos
\frac{5\cdot4}{2!}.
E como 2!=2, essa expressão pode ser facilmente calculada (o resultado final eu colocarei só na seção de resposta).
Observação alternativa (intuitiva e equivalente): escolher as posições das três j entre as 5 posições disponíveis é o mesmo que escolher um subconjunto de 3 posições dentre 5, o que é dado pelo coeficiente binomial
\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!},
mesma expressão que obtivemos antes — então as abordagens coincidem.

Passo 6

Exemplinho para fixar a ideia (caso mais simples): se tivéssemos 2 cirurgias j e 1 cirurgia q (total 3), o número de sequências seria
\frac{3!}{2!1!}=3,
que correspondem às sequências jjq, j q j e qjj. Isso ajuda a ver na prática por que dividimos pelas permutações internas das iguais.

Resposta

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