24- Um centro cirúrgico de um hospital necessita programar três cirurgias de joelho e duas cirurgias de quadris em um dia. Denotamos uma cirurgia de joelho e de quadris como
e
, respectivamente. Qual é o número de sequências possíveis das três cirurgias de joelho e das duas cirurgias de quadris?
Passo 1
O enunciado dá que no dia serão realizadas três cirurgias de joelho e duas cirurgias de quadril. Denotamos uma cirurgia de joelho por
e uma cirurgia de quadril por
. O que se pede é: quantas sequências diferentes (ordens) das cinco cirurgias são possíveis, levando em conta que as três
são indistinguíveis entre si e as duas
também são indistinguíveis entre si?
Informações relevantes:
- Há
cirurgias do tipo . - Há
cirurgias do tipo . - No total,
cirurgias a ordenar. - Cirurgias do mesmo tipo são indistinguíveis (trocar duas
entre si não gera sequência nova).
Passo 2
Vamos entender a ideia básica (sem ainda calcular): se todas as cinco cirurgias fossem diferentes entre si, o número de ordens possíveis seria o número de permutações de
objetos distintos, que é
. Aqui, porém, existem repetições (objetos indistinguíveis), então certas permutações entre si contam a mesma sequência. Precisamos corrigir esse excesso de contagem dividido pelo número de permutações internas das iguais.
Explicando o conceito de fatorial (que usamos em permutações):
- Para um inteiro
, definimos
- Exemplo:
.
O fatorial conta o número de maneiras de ordenarobjetos distintos.
Passo 3
Por que dividir? Uma maneira intuitiva: suponha que marcássemos as três cirurgias de joelho como
e as duas de quadril como
. Se todas estivessem rotuladas, o total de ordens seria
. Mas permutar entre si
não cria sequências distintas no problema real (pois todas são
idênticas); existem
maneiras de permutar esses rótulos sem mudar a sequência observada. De modo semelhante, existe
permutações dos
que não mudam a sequência real. Então devemos dividir por
e por
para eliminar as contagens repetidas.
Isso nos leva à fórmula de permutações de uma multiconjunto:
onde
é o total de objetos e
são as multiplicidades de cada tipo.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
-
(total de cirurgias), - multiplicidades
para e para .
Logo o número de sequências possíveis é
Passo 5
Podemos simplificar essa expressão para facilitar a avaliação manual. Escrevendo
e cancelando
no numerador e denominador, obtemos
E como
, essa expressão pode ser facilmente calculada (o resultado final eu colocarei só na seção de resposta).
Observação alternativa (intuitiva e equivalente): escolher as posições das três
entre as 5 posições disponíveis é o mesmo que escolher um subconjunto de 3 posições dentre 5, o que é dado pelo coeficiente binomial
mesma expressão que obtivemos antes — então as abordagens coincidem.
Passo 6
Exemplinho para fixar a ideia (caso mais simples): se tivéssemos
cirurgias
e
cirurgia
(total
), o número de sequências seria
que correspondem às sequências
,
e
. Isso ajuda a ver na prática por que dividimos pelas permutações internas das iguais.