A expressão do numerador é \pi \ln(x) - \cos\!\left(\frac{\pi}{2}x\right).
A expressão do denominador é \operatorname{sen}(\pi x) (seno de \pi x).
O ponto onde se aproxima é x=1.
Queremos saber se o limite existe e, se existir, calcular seu valor.
Passo 2
Primeiro passo prático em limites: tentar substituir x=1 diretamente para ver se o limite é óbvio ou se gera uma indeterminação.
Calcule cada parte em x=1:
Portanto, ao substituir, o numerador vale \pi\cdot 0 - 0 = 0 e o denominador vale 0. Conclusão: a expressão toma a forma indeterminada \frac{0}{0}. Isso nos diz que não podemos concluir o valor do limite só pela substituição — precisamos usar outra técnica.
Passo 3
Vamos escolher uma técnica para resolver a indeterminação 0/0. Uma ferramenta padrão e adequada aqui é a Regra de L’Hôpital. Vou explicar essa regra de forma simples:
Regra de L’Hôpital (caso 0/0): se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0, e se f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a) e \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} existe (ou é \pm\infty), então
\ln(x) e funções trigonométricas são diferenciáveis para x próximos de 1 (com x>0 no caso de \ln), então as derivadas existem na vizinhança de 1.
Temos a indeterminação 0/0.
Logo podemos aplicar L’Hôpital e calcular as derivadas do numerador e do denominador.
Passo 4
Calcule as derivadas termo a termo do numerador N(x)=\pi\ln(x)-\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right).
Derivada de \pi\ln(x): como \pi é constante, \frac{d}{dx}\big(\pi\ln(x)\big)=\pi\cdot\frac{1}{x}=\frac{\pi}{x}.
Explicação rápida: a derivada de \ln(x) é \frac{1}{x}; multiplicando por \pi (constante) mantemos \pi\cdot\frac{1}{x}.
Derivada de -\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right): usar a regra da cadeia. Primeiro a derivada de \cos(u) em relação a u é -\sin(u). Aqui u=\tfrac{\pi}{2}x e u'(x)=\tfrac{\pi}{2}. Então
Agora fazemos a substituição direta x=1 nessa expressão simplificada — já não devemos ter indeterminação, mas vamos verificar:
Calcule cada termo em x=1:
Concluímos que o limite existe e vale -\tfrac{3}{2}. Um resumo rápido do raciocínio: a substituição direta dava 0/0, aplicamos a Regra de L’Hôpital (derivando numerador e denominador), simplificamos um fator \pi e avaliamos a expressão resultante em x=1.