21¹ Questão Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \longrightarrow 1} \frac{\pi \ln (x)-\cos \left(\frac{\pi}{2} x\right)}{\operatorname{sen}(\pi x)}

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite quando x se aproxima de 1:
\lim_{x \to 1} \frac{\pi \ln(x) - \cos\!\left(\frac{\pi}{2}x\right)}{\operatorname{sen}(\pi x)}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão do numerador é \pi \ln(x) - \cos\!\left(\frac{\pi}{2}x\right).
  • A expressão do denominador é \operatorname{sen}(\pi x) (seno de \pi x).
  • O ponto onde se aproxima é x=1.
  • Queremos saber se o limite existe e, se existir, calcular seu valor.

Passo 2

Primeiro passo prático em limites: tentar substituir x=1 diretamente para ver se o limite é óbvio ou se gera uma indeterminação.
Calcule cada parte em x=1:
\ln(1)=0, \quad \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\cdot 1\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0, \quad \operatorname{sen}(\pi\cdot 1)=\operatorname{sen}(\pi)=0.
Portanto, ao substituir, o numerador vale \pi\cdot 0 - 0 = 0 e o denominador vale 0. Conclusão: a expressão toma a forma indeterminada \frac{0}{0}. Isso nos diz que não podemos concluir o valor do limite só pela substituição — precisamos usar outra técnica.

Passo 3

Vamos escolher uma técnica para resolver a indeterminação 0/0. Uma ferramenta padrão e adequada aqui é a Regra de L’Hôpital. Vou explicar essa regra de forma simples:
  • Regra de L’Hôpital (caso 0/0): se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0, e se f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a) e \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui isso é aplicável porque:
  • \ln(x) e funções trigonométricas são diferenciáveis para x próximos de 1 (com x>0 no caso de \ln), então as derivadas existem na vizinhança de 1.
  • Temos a indeterminação 0/0.
    Logo podemos aplicar L’Hôpital e calcular as derivadas do numerador e do denominador.

Passo 4

Calcule as derivadas termo a termo do numerador N(x)=\pi\ln(x)-\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right).
  • Derivada de \pi\ln(x): como \pi é constante, \frac{d}{dx}\big(\pi\ln(x)\big)=\pi\cdot\frac{1}{x}=\frac{\pi}{x}.
    Explicação rápida: a derivada de \ln(x) é \frac{1}{x}; multiplicando por \pi (constante) mantemos \pi\cdot\frac{1}{x}.
  • Derivada de -\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right): usar a regra da cadeia. Primeiro a derivada de \cos(u) em relação a u é -\sin(u). Aqui u=\tfrac{\pi}{2}x e u'(x)=\tfrac{\pi}{2}. Então
\frac{d}{dx}\Big(-\cos\!\big(\tfrac{\pi}{2}x\big)\Big) = -\big(-\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}x\big)\big)\cdot \tfrac{\pi}{2} = \tfrac{\pi}{2}\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}x\big).
Portanto a derivada do numerador é
N'(x)=\frac{\pi}{x} + \tfrac{\pi}{2}\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}x\big).

Passo 5

Agora calcule a derivada do denominador D(x)=\operatorname{sen}(\pi x).
  • A derivada de \sin(v) em relação a v é \cos(v). Aqui v=\pi x e v'(x)=\pi. Aplicando regra da cadeia:
D'(x)=\cos(\pi x)\cdot \pi = \pi\cos(\pi x).

Passo 6

Aplicando L’Hôpital, o limite original iguala ao limite das derivadas (se este último existir):
\lim_{x\to 1} \frac{\pi\ln(x)-\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right)}{\operatorname{sen}(\pi x)} = \lim_{x\to 1} \frac{N'(x)}{D'(x)} = \lim_{x\to 1} \frac{\frac{\pi}{x} + \tfrac{\pi}{2}\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}x\big)}{\pi\cos(\pi x)}.
Note que há um fator comum \pi no numerador e no denominador; podemos simplificar dividindo por \pi:
\frac{\frac{\pi}{x} + \tfrac{\pi}{2}\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}x\big)}{\pi\cos(\pi x)} = \frac{\frac{1}{x} + \tfrac{1}{2}\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}x\big)}{\cos(\pi x)}.

Passo 7

Agora fazemos a substituição direta x=1 nessa expressão simplificada — já não devemos ter indeterminação, mas vamos verificar:
Calcule cada termo em x=1:
\frac{1}{x}\Big|_{x=1} = 1, \quad \sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}x\big)\Big|_{x=1} = \sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big) = 1, \quad \cos(\pi x)\Big|_{x=1} = \cos(\pi) = -1.
Substituindo:
\frac{\frac{1}{1} + \tfrac{1}{2}\cdot 1}{-1} = \frac{1 + \tfrac{1}{2}}{-1} = \frac{\tfrac{3}{2}}{-1} = -\tfrac{3}{2}.

Passo 8

Concluímos que o limite existe e vale -\tfrac{3}{2}. Um resumo rápido do raciocínio: a substituição direta dava 0/0, aplicamos a Regra de L’Hôpital (derivando numerador e denominador), simplificamos um fator \pi e avaliamos a expressão resultante em x=1.

Resposta

-\dfrac{3}{2}

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