Encontre \frac{d y}{d x}.
y=e^{x}-\cos \left(4 x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada \dfrac{d y}{d x} da função dada. As informações relevantes são:
y=e^{x}-\cos\left(4x^{2}\right).
Ou seja, sabemos explicitamente a expressão de y em função de x e precisamos calcular a taxa de variação dessa função em relação a x.

Passo 2

Regra básica que vamos usar primeiro: a derivada de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas. Em símbolos:
\frac{d}{dx}\big(u(x)\pm v(x)\big)=u'(x)\pm v'(x),
onde u(x) e v(x) são funções quaisquer. Aqui podemos identificar
u(x)=e^{x}\quad\text{e}\quad v(x)=\cos\big(4x^{2}\big),
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\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\big(e^{x}\big)-\frac{d}{dx}\big(\cos(4x^{2})\big).

Passo 3

Derivada da parte u(x)=e^{x}. A função exponencial tem a propriedade simples:
\frac{d}{dx}\big(e^{x}\big)=e^{x}.
Ou seja, a derivada de e^{x} é ela mesma. Então já temos a primeira parcela da derivada:
\frac{d}{dx}\big(e^{x}\big)=e^{x}.

Passo 4

Agora vamos derivar v(x)=\cos\big(4x^{2}\big). Como isso é uma composição de funções (uma função exterior \cos aplicada a uma função interior 4x^{2}), usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz:
\frac{d}{dx}f\big(g(x)\big)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x),
onde f é a função externa e g é a interna. Aqui tomamos
f(u)=\cos(u)\quad\text{e}\quad g(x)=4x^{2}.
A derivada de f em termos de u é f'(u)=-\sin(u). Portanto, aplicando a cadeia:
\frac{d}{dx}\big(\cos(4x^{2})\big)=-\sin\big(4x^{2}\big)\cdot\frac{d}{dx}\big(4x^{2}\big).

Passo 5

Calculamos agora a derivada da função interna g(x)=4x^{2}. Usamos a regra de potência e a constante multiplicativa:
\frac{d}{dx}\big(4x^{2}\big)=4\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=4\cdot 2x=8x.
Substituindo em v'(x):
\frac{d}{dx}\big(\cos(4x^{2})\big)=-\sin\big(4x^{2}\big)\cdot 8x=-8x\sin\big(4x^{2}\big).

Passo 6

Voltando à combinação das parcelas (lembre que y'=u'-v'):
\frac{dy}{dx}=e^{x}-\big(-8x\sin(4x^{2})\big).
Fazendo a subtração do negativo:
\frac{dy}{dx}=e^{x}+8x\sin\big(4x^{2}\big).

Resposta

\,e^{x}+8x\sin\big(4x^{2}\big)

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