Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \frac{(x-1)^{2}}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo:
\int \frac{(x-1)^{2}}{x}\,dx.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função a ser integrada é \dfrac{(x-1)^{2}}{x}.
  • Queremos uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{(x-1)^{2}}{x}.
  • Devemos adicionar a constante arbitrária de integração C ao final.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: expandir o quadrado no numerador para simplificar a expressão.
(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1.

Passo 3

Dividir cada termo do numerador por x para escrever a função como soma de termos mais simples (isso é só álgebra básica de frações).
\frac{(x-1)^2}{x} = \frac{x^2 - 2x + 1}{x} = \frac{x^2}{x} - \frac{2x}{x} + \frac{1}{x} = x - 2 + \frac{1}{x}.

Passo 4

Usar a linearidade da integral: a propriedade que permite separar a integral de uma soma em soma de integrais e tirar constantes para fora. Assim,
\int \left(x - 2 + \frac{1}{x}\right) dx = \int x\,dx - \int 2\,dx + \int \frac{1}{x}\,dx.

Passo 5

Agora aplicamos regras básicas de integração a cada termo, explicando cada uma:
  • Regra da potência (para n\neq -1): \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C. Aqui, para n=1 temos \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.Explicação curta: derivando \dfrac{x^{2}}{2} obtemos x, então é a primitiva correta.
  • Integral de constante: \displaystyle \int a\,dx = a x + C. Aqui a=2, então \int 2\,dx = 2x.
  • Integral de 1/x: \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C. Explicação curta: a derivada de \ln|x| é \dfrac{1}{x} para x\neq 0, por isso é a primitiva correta.
Aplicando essas três ao problema:
\int x\,dx - \int 2\,dx + \int \frac{1}{x}\,dx = \frac{x^{2}}{2} - 2x + \ln|x| + C.

Passo 6

Juntando tudo e lembrando de colocar apenas uma constante de integração C no final (pois somas de constantes podem ser absorvidas numa única constante), obtemos a primitiva final.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2}-2x+\ln|x|+C

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