Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo:
Informações relevantes do enunciado:
- A função a ser integrada é
. - Queremos uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão
tal que . - Devemos adicionar a constante arbitrária de integração
ao final.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: expandir o quadrado no numerador para simplificar a expressão.
Passo 3
Dividir cada termo do numerador por
para escrever a função como soma de termos mais simples (isso é só álgebra básica de frações).
Passo 4
Usar a linearidade da integral: a propriedade que permite separar a integral de uma soma em soma de integrais e tirar constantes para fora. Assim,
Passo 5
Agora aplicamos regras básicas de integração a cada termo, explicando cada uma:
- Regra da potência (para
): . Aqui, para temos Explicação curta: derivando obtemos , então é a primitiva correta. - Integral de constante:
. Aqui , então - Integral de
: . Explicação curta: a derivada de é para , por isso é a primitiva correta.
Aplicando essas três ao problema:
Passo 6
Juntando tudo e lembrando de colocar apenas uma constante de integração
no final (pois somas de constantes podem ser absorvidas numa única constante), obtemos a primitiva final.