Encontre \frac{d y}{d x}.
y=\left(x{3}-4\right){32}

Passo 1

O enunciado pede: encontre \dfrac{d y}{d x} para a função dada.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\displaystyle y=\left(x^{3}-4\right)^{32}.
Não há outras condições ou restrições pedidas — só precisamos derivar essa função em relação a x.

Passo 2

Vamos escrever a ideia geral que usaremos (em palavras simples): a função é uma composição: há uma função “externa” aplicada a outra “interna”. Quando temos uma composição f(g(x)), a derivada segue a regra (em forma matemática):
\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x).
Aqui f é a função externa e g a interna; f'(g(x)) significa derivar f em termos de sua variável e depois substituir g(x); em seguida multiplicamos pela derivada de g.

Passo 3

Identificamos as duas funções da composição no nosso caso:
\text{função externa: } f(u)=u^{32},çã
\text{função interna: } g(x)=x^{3}-4,çã
onde eu introduzi uma variável intermediária u tal que u=g(x). Isso ajuda a aplicar a regra do passo anterior.

Passo 4

Aplique a regra de potência para obter f'(u). A regra de potência diz que, para n constante,
\frac{d}{du}u^{n}=n\,u^{n-1}.
No nosso caso n=32, então
f'(u)=32\,u^{31}.
Expliquei isso devagar: tiramos o expoente para frente (32) e diminuímos o expoente em 1 (fica 31).

Passo 5

Agora calcule a derivada da função interna g(x)=x^{3}-4. Usamos regras básicas: a derivada de x^{3} é 3x^{2} e a de uma constante é 0. Portanto
g'(x)=3x^{2}.

Passo 6

Use a regra da cadeia do Passo 2: substitua u=g(x)=x^{3}-4 em f'(u) e multiplique por g'(x). Assim
\frac{dy}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x)=32\left(x^{3}-4\right)^{31}\cdot 3x^{2}.

Passo 7

Simplifique o produto de constantes 32\cdot 3. Temos 32\cdot 3=96, e podemos também reescrever a ordem dos fatores. Logo
\frac{dy}{dx}=96\,x^{2}\left(x^{3}-4\right)^{31}.

Passo 8

Pequeno reforço prático (exemplo parecido): se tivéssemos y=(2x+1)^{5}, aplicaríamos o mesmo procedimento: derivada externa 5(2x+1)^{4} vezes derivada interna 2, resultando em 10(2x+1)^{4}. Isso mostra o padrão: “desce o expoente, diminui ele em 1, e multiplica pela derivada da parte dentro dos parênteses.” Força aí — você já sabe fazer esse tipo de derivada!

Resposta

\frac{dy}{dx}=96\,x^{2}\left(x^{3}-4\right)^{31}

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