1. z=x y, x=2 t^2+1, y=sen t.
  2. Dada a função f(x, y)=xy+e^x y, com x(t)=1t e y(t)=raizt, encontrar d hd t onde h(t)=f(x(t), y(t)).
  3. Seja h(t)=f(e^2 t, cos t), onde f: R^2 R é uma função diferenciável.

Passo 1

O que nos pedem nos itens 7, 8 e 9 é aplicar a regra da cadeia em funções de duas variáveis. Em geral, se
z = f(x,y), x=x(t),;y=y(t),
então
dzdt = partial fpartial x,dxdt + partial fpartial y,dydt

Passo 2

Item 7: aqui f(x,y)=xy, logo
partial fpartial x=y, partial fpartial y=x
Dado x=2t^2+1 e y=sin t, temos
dxdt=4t, dydt=cos t
Aplicando a regra da cadeia:
dzdt = y,dxdt + x,dydt = sin tcdot(4t) + (2t^2+1)cos t

Passo 3

Item 8: aqui
f(x,y)=xy+e^xy, x(t)=1t, y(t)=raizt, h(t)=fl(x(t),y(t)r)
Calculamos as parciais:
fx = 1y + y,e^xy, fy = -xy^2 + x,e^xy
E as derivadas das curvas:
dxdt = -1t^2, dydt = 12raizt
Logo
dhdt = fx,dxdt + fy,dydt = l(1y + y,e^xyr)l(-1t^2r) + l(-xy^2 + x,e^xyr)l(12raiztr),
em que em cada termo substituímos x=1/t e y=raizt.

Passo 4

Item 9: seja
h(t)=fl(e^2t,cos tr)
Pela cadeia:
dhdt = fxl(e^2t,cos tr),ddt(e^2t) + fyl(e^2t,cos tr),ddt(cos t)
Como ddt(e^2t)=2e^2t e ddt(cos t)=-sin t, vem
dhdt =2e^2t;fxl(e^2t,cos tr) -sin t;fyl(e^2t,cos tr)

Resposta

  1. dzdt=4tsin t + (2t^2+1)cos t
  2. dhdt =l(1y+y,e^xyr)l(-1t^2r) +l(-xy^2+x,e^xyr)l(12raiztr), com x=1/t, y=raiz t.
  3. dhdt =2e^2t,fx(e^2t,cos t);-;sin t,fy(e^2t,cos t)

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