Calcule a integral.
integral 5 x^4+7 x^2+x+2x(x^2+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 5 x^4+7 x^2+x+2x,(x^2+1)^2,dx
O conteúdo é integração de funções racionais usando decomposição em frações parciais. Vamos escrever o integrando como soma de termos mais simples.

Passo 2

Proponho a decomposição
5 x^4+7 x^2+x+2x,(x^2+1)^2 =Ax+B x + Cx^2+1+D x + E(x^2+1)^2

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por
Daqui segue , , , . Logo

Passo 4

A integral se separa em três partes:
integral 2x,dx, integral 3xx^2+1,dx, integral 1(x^2+1)^2,dx

Passo 5

Integramos cada termo:
integral 2x,dx = 2 lnlvert xrvert,
integral 3xx^2+1,dx = 32lnl(x^2+1r),
e usamos a fórmula padrão
integral dx(x^2+1)^2 = x2(x^2+1)+12arctan(x)

Resposta

2 lnlvert xrvert +32lnl(x^2+1r) +x2(x^2+1) +12arctan(x) +C

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