Sejam A e B subconjuntos não-vazios e limitados de números reais e A+B=a+b mid a in A, b in B. Mostre que
sup (A+B)=sup (A)+sup (B) e que inf (A+B)=inf (B)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos A e B subconjuntos não-vazios e limitados de R e definimos
A+B=,a+bmid ain A,;bin B
Queremos mostrar que
sup(A+B)=sup(A)+sup(B) e inf(A+B)=inf(A)+inf(B)
Para isso, usaremos as definições de máximo superior (supremo) e mínimo inferior (ínfimo), explorando que supremo é o menor dos limites superiores e ínfimo é o maior dos limites inferiores.

Passo 2

Prova de sup(A+B)=sup(A)+sup(B):
  1. Mostramos que u=sup(A)+sup(B) é um maiorante de A+B. De fato, para todo ain A e bin B vale
a<=sup(A), b<=sup(B) Longrightarrow a+b<=sup(A)+sup(B)=u
  1. Agora mostramos que u é o menor dos maiores limites. Seja varepsilon>0. Como sup(A) é supremo de A, existe avarepsilonin A tal que
avarepsilon>sup(A)-varepsilon2
De modo análogo, existe bvarepsilonin B com
bvarepsilon>sup(B)-varepsilon2
Somando, obtém-se
avarepsilon+bvarepsilon>l(sup(A)-tfracvarepsilon2r) +l(sup(B)-tfracvarepsilon2r) =sup(A)+sup(B)-varepsilon=u-varepsilon
Isso mostra que nenhum número menor que u pode ser um maiorante de A+B. Logo
sup(A+B)=u=sup(A)+sup(B)

Passo 3

Prova de inf(A+B)=inf(A)+inf(B):
  1. Chamemos v=inf(A)+inf(B). Para todo ain A e bin B temos
a>=inf(A), b>=inf(B) Longrightarrow a+b>=inf(A)+inf(B)=v,
ou seja, v é um minorante de A+B.
2. Para ver que v é o maior dos limites inferiores, pegue varepsilon>0. Como inf(A) é ínfimo, existe a'varepsilonin A tal que
a'varepsilon<inf(A)+varepsilon2,
e análogo b'varepsilonin B com
b'varepsilon<inf(B)+varepsilon2
Somando, segue
a'varepsilon+b'varepsilon<inf(A)+inf(B)+varepsilon=v+varepsilon
Isso impede que qualquer número maior que v seja um minorante de A+B. Portanto
inf(A+B)=v=inf(A)+inf(B)

Resposta

sup(A+B)=sup(A)+sup(B)
inf(A+B)=inf(A)+inf(B)

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