Sejam
e
subconjuntos não-vazios e limitados de números reais e
. Mostre que
Passo 1
Resumo do enunciado: temos
e
subconjuntos não-vazios e limitados de
e definimos
Queremos mostrar que
Para isso, usaremos as definições de máximo superior (supremo) e mínimo inferior (ínfimo), explorando que supremo é o menor dos limites superiores e ínfimo é o maior dos limites inferiores.
Passo 2
Prova de
:
- Mostramos que
é um maiorante de . De fato, para todo e vale
- Agora mostramos que
é o menor dos maiores limites. Seja . Como é supremo de , existe tal que
De modo análogo, existe
com
Somando, obtém-se
Isso mostra que nenhum número menor que
pode ser um maiorante de
. Logo
Passo 3
Prova de
:
- Chamemos
. Para todo e temos
ou seja,
é um minorante de
.
2. Para ver que é o maior dos limites inferiores, pegue
. Como
é ínfimo, existe
tal que
2. Para ver que
e análogo
com
Somando, segue
Isso impede que qualquer número maior que
seja um minorante de
. Portanto