Nos exercícios 2 a 7 , determinar d zd t, usando a regra da cadeia.
2. z=tg(x^2+y), x=2 t, y=t^2.
3. z=x cos y, x=sen t, y=t.

Passo 1

No exercício 2, temos ;z=tan(x^2+y), com x=2t e y=t^2. Queremos dzdt usando regra da cadeia, aplicando derivada da tangente e derivada do argumento.

Passo 2

Seja u=x^2+y. Então
dzdt=sec^2(u),dudt,
onde
dudt=2xdxdt+dydt

Passo 3

Calculando derivadas de x e y:
dxdt=2, dydt=2t
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dudt=2xcdot2+2t=4x+2t

Passo 4

Substituindo x=2t e u=x^2+y=4t^2+t^2=5t^2 em dzdt=sec^2(u),(4x+2t), obtemos
dzdt=sec^2(5t^2),(4cdot2t+2t)=10t,sec^2(5t^2)

Passo 5

No exercício 3, temos ;z=xcos y, com x=sin t e y=t. Queremos dzdt.

Passo 6

Como z é produto de x e cos y, pela regra do produto:
dzdt=dxdt,cos y ;+; x,ddt(cos y)

Passo 7

Temos
dxdt=cos t, ddt(cos y)=-sin y;dydt=-sin y
Então
dzdt=cos tcos y + x,(-sin y)

Passo 8

Substituindo x=sin t e y=t:
dzdt=cos tcos t - sin tsin t =cos^2t-sin^2t =cos(2t)

Resposta

dzdt=cos(2t)

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