E6.21 Um sistema possui a equação característica
q(s)=s^{3}+10 s^{2}+29 s+K=0 .
Desloque o eixo vertical para a esquerda 2 unidades usando s=s_{n}-2 \mathrm{e} determine o valor de ganho K de modo que as raízes complexas sejam s=-2 \pm j.

Passo 1

O enunciado dá a equação característica
q(s)=s^{3}+10s^{2}+29s+K=0
e pede para deslocar o eixo vertical 2 unidades à esquerda usando s=s_{n}-2, de modo que as raízes complexas fiquem em s=-2\pm j. O conteúdo aqui é mudança de variável em polinômio e localização de raízes.

Passo 2

Fazendo a substituição s=s_{n}-2 na característica, obtemos
q_{n}(s_{n})=(s_{n}-2)^{3}+10(s_{n}-2)^{2}+29(s_{n}-2)+K.
Expandindo:
(s_{n}-2)^{3}=s_{n}^{3}-6s_{n}^{2}+12s_{n}-8,
10(s_{n}-2)^{2}=10s_{n}^{2}-40s_{n}+40,
29(s_{n}-2)=29s_{n}-58.
Somando tudo:
q_{n}(s_{n})=s_{n}^{3}+( -6+10 )s_{n}^{2}+(12-40+29)s_{n}+(-8+40-58+K)
q_{n}(s_{n})=s_{n}^{3}+4s_{n}^{2}+s_{n}+(K-26).

Passo 3

Queremos que em s as raízes complexas sejam -2\pm j, ou seja em s_{n}=s+2 elas sejam \pm j. Logo q_{n}(s_{n}) deve ser divisível por s_{n}^{2}+1. Podemos escrever
q_{n}(s_{n})=(s_{n}^{2}+1)(s_{n}+a)
e expandir:
(s_{n}^{2}+1)(s_{n}+a)=s_{n}^{3}+a\,s_{n}^{2}+s_{n}+a.

Passo 4

Comparando com
q_{n}(s_{n})=s_{n}^{3}+4s_{n}^{2}+s_{n}+(K-26),
vemos que a=4 e também a=K-26. Portanto
K-26=4 \quad\Longrightarrow\quad K=30.

Resposta

K=30

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