E6.22 Um sistema possui uma função de transferência Y(s) / R(s)= T(s)=1 / s. (a) Esse sistema é estável? (b) Se r(t) é uma entrada em degrau unitário, determine a resposta y(t).

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
T(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{1}{s}\,.
O conteúdo aqui envolve transformada de Laplace, estabilidade BIBO (bounded‐input bounded‐output) e resposta a uma entrada em degrau unitário. Para resolver, vamos (1) obter a resposta ao impulso h(t), (2) testar a estabilidade BIBO e (3) calcular y(t) para r(t)=u(t).

Passo 2

Para achar a resposta ao impulso, fazemos a transformada inversa de Laplace de T(s):
h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{T(s)\}=\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s}\Bigr\}=u(t)\,,
onde u(t) é o degrau unitário. Assim, o sistema integra qualquer sinal de entrada.

Passo 3

O critério BIBO de estabilidade exige
\int_{0}^{\infty}|h(t)|\,\mathrm{d}t<\infty\,.
Como aqui h(t)=1 para t\ge0, temos
\int_{0}^{\infty}1\,\mathrm{d}t = \infty\,,
logo o sistema não é BIBO estável. Em termos de polos, há um polo simples em s=0, o que dá estabilidade marginal interna, mas falha na condição BIBO.

Passo 4

Para achar a resposta ao degrau, tomamos R(s)=\mathcal{L}\{u(t)\}=1/s. Então
Y(s)=T(s)\,R(s)=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}\,.
Aplicando a transformada inversa:
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{2}}\Bigr\}=t\,u(t)\,.

Resposta

(a) O sistema não é BIBO estável.
(b) Para r(t)=u(t), a saída é
y(t)=t\,u(t)\,.

Exercícios relacionados