Encontre as raízes dos seguintes polinômios:
s^{3}+9 s^{2}+27 s+27=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes do polinômio cúbico \r
s^{3}+9s^{2}+27s+27=0.\r
O conteúdo aqui envolve teste de possíveis raízes racionais (Teorema do Resto) e fatoração por divisão sintética, seguido da resolução de uma equação quadrática.

Passo 2

Pelos divisores de 27, as possíveis raízes racionais são \pm1,\pm3,\pm9,\pm27. Testando s=-3 no polinômio:\r
(-3)^{3}+9(-3)^{2}+27(-3)+27=-27+81-81+27=0,\r
logo s=-3 é raiz.

Passo 3

Fatoramos o polinômio dividindo por (s+3) via divisão sintética. O resultado é\r
s^{3}+9s^{2}+27s+27=(s+3)(s^{2}+6s+9).

Passo 4

Para encontrar as raízes de s^{2}+6s+9=0, calculamos o discriminante:\r
\Delta = b^{2}-4ac = 6^{2}-4\cdot1\cdot9 =36-36=0.\r
Como \Delta=0, há raiz dupla\r
s = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2} = -3.

Resposta

Todas as raízes coincidem em -3. Ou seja, s=-3 com multiplicidade 3.

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