E6.23 Um sistema é representado pela Equação (6.22) cm que
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ -8 & -k & -4 \end{array}\right]
Encontre a faixa de valores de k onde o sistema é estável.

Passo 1

O enunciado dá a matriz de sistema
\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ -8 & -k & -4 \end{pmatrix}
e pede a faixa de k para a qual o sistema é estável (i.e.\ todas as raízes do polinômio característico têm parte real negativa). Vamos usar o critério de Routh–Hurwitz para um polinômio cúbico.

Passo 2

Primeiro obtemos o polinômio característico
p(\lambda)=\det(\lambda I - A) =\lambda^3+4\lambda^2+k\lambda+8.

Passo 3

Construímos a tabela de Routh para \lambda^3+4\lambda^2+k\lambda+8:
\begin{array}{c|cc} \lambda^3 & 1 & k\\[6pt] \lambda^2 & 4 & 8\\[6pt] \lambda^1 & \displaystyle\frac{4\cdot k-8}{4}=k-2 & 0\\[6pt] \lambda^0 & 8 & \end{array}]

Passo 4

Pelo critério de Routh–Hurwitz todas as entradas na primeira coluna devem ser positivas:
  1. 1>0 (automático),
  2. 4>0,
  3. k-2>0\implies k>2,
  4. 8>0.
    Logo a única condição não trivial é k>2.

Resposta

Para que o sistema seja estável, é necessário e suficiente que k>2.

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