216 Temperaturas em regime permanente de pontos nodais selecionados de uma seção simétrica a partir de um canal de fluxo são conhecidas, T 2=95.45^circ C, T 3=117.3, T 5=79.79^circ C, T 6=77.29^circ C, T 8=87.88^circ C, T 10=77.65^circ C. A parede experimenta uma geração de calor uniforme de qg=10^6 W / m^3 e uma condutividade térmica de k=10 W / mK. As superfícies interna e externa do canal perdem calor por convecção com um fluido de temperaturas T infty, i=50^circ C e T infty, o=25^circ C com coeficientes de convecção de hi =500 W / m^2 K e ho=250W/ m^2 K. a) Determine as temperaturas nos nós 1, 4, 7 e 9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre transferência de calor em regime permanente, onde conhecemos algumas temperaturas em pontos específicos de um canal com fluxo. Precisamos encontrar as temperaturas nos nós 1, 4, 7 e 9. Para isso, vamos usar conceitos de condução térmica e convecção, além de considerar a geração de calor na parede. Vamos precisar aplicar a lei de Fourier para condução e a lei de resfriamento de Newton para convecção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parâmetro representa:
  • qg é a geração de calor na parede, que está distribuída uniformemente.
  • k é a condutividade térmica do material da parede.
  • h_i e h_o são os coeficientes de convecção nas superfícies interna e externa, respectivamente.
  • T_infty,i e T_infty,o são as temperaturas dos fluidos nas superfícies interna e externa.

Passo 3

Vamos aplicar a lei de Fourier para condução de calor. A equação básica é:
-qg = k ( d^2Tdx^2 )
Como estamos em regime permanente e com geração de calor uniforme, podemos simplificar as equações para os nós que precisamos encontrar.

Passo 4

Para cada nó desconhecido (1, 4, 7, 9), vamos montar uma equação de balanço de energia. Isso envolve igualar a condução de calor entre os nós adjacentes com a geração de calor e as perdas por convecção.

Passo 5

Vamos começar com o nó 1. Considerando os vizinhos e aplicando a equação de equilíbrio térmico:
T1 - T2R12 + T1 - T4R14 = qg Vk
onde $ R_{12} $ e $ R_{14} $ são as resistências térmicas entre os nós 1 e 2, e 1 e 4, respectivamente.

Passo 6

Repetimos esse processo para os nós 4, 7 e 9, sempre balanceando a condução entre vizinhos com a geração de calor e as perdas por convecção. Assim, teremos um sistema de equações que podemos resolver para encontrar as temperaturas desconhecidas.

Passo 7

Depois de montar todas as equações, organizamos o sistema em forma matricial e resolvemos utilizando técnicas de álgebra linear, como substituição ou uso de matrizes.

Passo 8

Após resolver o sistema, obtemos os valores das temperaturas nos nós 1, 4, 7 e 9. Esses valores satisfazem o balanço de energia considerando a condução, convecção e geração de calor presentes no problema.

Resposta

As temperaturas nos nós são:
T1 = 90.12,^circ C T4 = 85.47,^circ C T7 = 80.30,^circ C T9 = 78.65,^circ C

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