Demonstre que quando a derivada material é aplicada ao campo de velocidade o resultado é o campo de aceleração, expresso por,
a(x, y, z, t)=D VD t=partial Vpartial t+(V cdot nabla) V
E se a derivada material for aplicada à pressão, como ficaria a expressão?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para demonstrar que, quando aplicamos a derivada material ao campo de velocidade, o resultado é o campo de aceleração, representado por:
a(x, y, z, t)=D VD t=partial Vpartial t+(V cdot nabla) V
E também, você quer saber como fica a expressão quando a derivada material é aplicada à pressão. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a derivada material, como ela se aplica ao campo de velocidade e depois à pressão. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a derivada material. Em fluidodinâmica, a derivada material $ \frac{D}{Dt} $ representa a taxa de variação de uma quantidade (como velocidade ou pressão) que é observada ao seguir uma partícula de fluido ao longo do tempo. Diferente da derivada parcial, que observa a variação em um ponto fixo no espaço, a derivada material acompanha a partícula que se move.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a derivada material ao campo de velocidade $ \vec{V} $. A derivada material da velocidade é definida como:
V
Aqui, $ \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} $ é a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo, representando a variação temporal da velocidade no ponto fixo. Já o termo $ (\vec{V} \cdot \vec{\nabla}) \vec{V} $ é chamado de termo convectivo e representa a variação espacial da velocidade devido ao movimento da partícula no campo de velocidade.

Passo 4

O campo de aceleração $ \vec{a} $ é, por definição, a derivada da velocidade em relação ao tempo. Portanto, podemos escrever:
a
Substituindo a expressão da derivada material da velocidade, temos:
a = D VD t
Isso mostra que a aceleração é composta pela variação temporal da velocidade mais a variação espacial devido ao movimento no campo de velocidade.

Passo 5

Agora, vamos aplicar a derivada material à pressão $ P $. Usando a mesma definição da derivada material:
P
Aqui, $ \frac{\partial P}{\partial t} $ representa a variação temporal da pressão no ponto fixo, e $ (\vec{V} \cdot \vec{\nabla}) P $ representa a variação espacial da pressão devido ao movimento da partícula no campo de velocidade.

Resposta

Então, quando aplicamos a derivada material ao campo de aceleração, temos:
a(x, y, z, t)=D VD t=partial Vpartial t+(V cdot nabla) V
E, ao aplicar a derivada material à pressão, a expressão fica:
D PD t = partial Ppartial t + (V cdot nabla) P

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