Um rolo de madeira serrado, contendo uma umidade inicial de 55 % é colocado em um forno para secar onde a umidade superficial é mantida a 20 %. Se o conteúdo máximo de umidade do rolo seco é de 30 %, quanto tempo o rolo de 4 in de diâmetro e 18 in de comprimento leva para secar quando a superfície cilíndrica está selada com uma barreira de vapor?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um rolo de madeira com algumas características específicas e quer descobrir quanto tempo ele vai levar para secar no forno. A gente vai precisar usar conceitos de transferência de massa e difusão, que são partes da física e química que lidam com como as substâncias se movem de um lugar para outro. Para resolver isso, vamos precisar entender como a umidade se desloca dentro do rolo de madeira e aplicar algumas fórmulas matemáticas para calcular o tempo de secagem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Umidade inicial ( UMi): 55%
  • Umidade da superfície no forno ( UMs): 20%
  • Umidade final desejada ( UMf): 30%
  • Diâmetro do rolo ( d): 4 polegadas
  • Comprimento do rolo ( L): 18 polegadas
Agora, precisamos converter essas medidas para unidades mais práticas, como metros, mas para simplificar, vamos manter em polegadas e trabalhar com percentagens.

Passo 3

Como a superfície está selada com uma barreira de vapor, a perda de umidade ocorre apenas pelo interior do rolo. Isso significa que a umidade vai sair do centro do rolo para a superfície. Para calcular o tempo de secagem, vamos usar a Lei de Difusão de Fick, que descreve como as moléculas se movem de uma área de alta concentração para uma de baixa concentração ao longo do tempo.
A fórmula básica para o tempo de difusão ( t) em uma dimensão é:
t = L^2D
Onde:
  • L é a distância que a molécula precisa percorrer (neste caso, o raio do rolo).
  • D é o coeficiente de difusão da água na madeira.

Passo 4

Primeiro, calculamos o raio do rolo de madeira, que é metade do diâmetro:
r = d2 = 4, in2 = 2, in
Então, L = 2, in.

Passo 5

Agora, precisamos do coeficiente de difusão ( D) da água na madeira. Esse valor pode variar dependendo do tipo de madeira e das condições ambientais, mas vamos supor um valor típico para madeira seca, que é aproximadamente:
D = 1 times 10^-6, cm^2/s
Vamos converter para polegadas:
1, cm = 0.3937, in Rightarrow D = 1 times 10^-6, cm^2/s times (0.3937)^2 approx 1.55 times 10^-7, in^2/s

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula do tempo de difusão:
t = L^2D = (2, in)^21.55 times 10^-7, in^2/s = 41.55 times 10^-7 approx 2.58 times 10^7, s

Passo 7

Vamos converter o tempo de segundos para horas:
t = 2.58 times 10^7, s3600, s/h approx 7.17 times 10^3, h
Isso dá cerca de 7.170 horas, o que é um tempo extremamente longo e não prático para secagem. Isso indica que nosso modelo simplificado talvez não esteja capturando todos os aspectos do processo real de secagem, como convecção no forno, que pode acelerar a remoção da umidade.

Resposta

O rolo de madeira levaria aproximadamente 7.170 horas para secar completamente sob as condições descritas, considerando apenas a difusão da umidade através do raio do rolo.

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