19/06
Descrever a posição relativa entre a reta
que passa por
e
, e a reta
que passa por
e
. Achar a equação da reta
que é ortogonal a
e
e corta a
e
.
Descrever a posição relativa entre a reta
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo! Temos duas retas no espaço:
- Reta $ r_1 $ que passa pelos pontos $ A = (1,1,1) $ e $ B = (1,2,3) $.
- Reta $ r_2 $ que passa pelos pontos $ C = (-1,0,1) $ e $ D = (2,1,0) $.
Precisamos:
- Descrever como essas duas retas estão posicionadas uma em relação à outra.
- Encontrar a equação da reta $ r $ que é ortogonal (ou seja, forma um ângulo de 90 graus) a ambas $ r_1 $ e $ r_2 $ e que corta ambas as retas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores diretores das retas, condições de ortogonalidade e interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as equações paramétricas das retas $ r_1 $ e $ r_2 $.
Para a reta $ r_1 $:
- Ponto inicial $ A = (1,1,1) $.
- Vetor diretor $ \vec{r_1} = B - A = (1-1, 2-1, 3-1) = (0,1,2) $.
Assim, a equação paramétrica de $ r_1 $ pode ser escrita como:
onde $ t $ é o parâmetro.
Para a reta $ r_2 $:
- Ponto inicial $ C = (-1,0,1) $.
- Vetor diretor $ \vec{r_2} = D - C = (2 - (-1), 1 - 0, 0 - 1) = (3,1,-1) $.
Assim, a equação paramétrica de $ r_2 $ é:
onde $ s $ é o parâmetro.
Passo 3
Agora, vamos descrever a posição relativa entre as retas $ r_1 $ e $ r_2 $.
-
Paralelas ou Coincidentes?
- Verificamos se os vetores diretores são múltiplos entre si.
- Vetores diretores: $ \vec{r_1} = (0,1,2) $ e $ \vec{r_2} = (3,1,-1) $.
- Claramente, $ \vec{r_1} $ não é múltiplo de $ \vec{r_2} $ (não existe um número $ k $ tal que $ 0 = 3k, 1 = 1k, 2 = -1k $).
- Portanto, as retas não são paralelas nem coincidentes.
-
Intersecção?
- Vamos procurar se existe um ponto comum a $ r_1 $ e $ r_2 $.
- Igualamos as coordenadas:
r1 - Resolvendo a primeira equação: $ 3s = 2 \Rightarrow s = \frac{2}{3} $.
- Substituindo na segunda: $ 1 + t = \frac{2}{3} \Rightarrow t = -\frac{1}{3} $.
- Verificando na terceira: $ 1 + 2(-\frac{1}{3}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $ e $ 1 - s = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $. Confere!
- Portanto, as retas se intersectam no ponto $ P = (1, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}) $.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a reta $ r $ que é ortogonal a $ r_1 $ e $ r_2 $, e que corta ambas as retas.
-
Encontrar o vetor diretor de $ r $:
- Como $ r $ é ortogonal a $ r_1 $ e $ r_2 $, seu vetor diretor $ \vec{v} $ deve satisfazer:
r - Vamos chamar $ \vec{v} = (a, b, c) $.
- Aplicando o produto escalar:
r1 r2 - Da equação (1): $ b = -2c $.
- Substituindo na equação (2):
r - Então, podemos expressar $ \vec{v} = (c, -2c, c) $. Simplificando, podemos escolher $ c = 1 $:
r
- Como $ r $ é ortogonal a $ r_1 $ e $ r_2 $, seu vetor diretor $ \vec{v} $ deve satisfazer:
-
Obter a equação paramétrica de $ r $:
- Sabemos que $ r $ passa pelo ponto de interseção $ P = (1, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}) $.
- Com vetor diretor $ \vec{v} = (1, -2, 1) $, a equação paramétrica de $ r $ é:
onde $ t $ é o parâmetro.r1
Resposta
A reta $ r $ que é ortogonal às retas $ r_1 $ e $ r_2 $ e que corta ambas pode ser descrita pelas seguintes equações paramétricas:
onde $ t $ é um número real.