19/06
Descrever a posição relativa entre a reta r1 que passa por A=(1,1,1) e B= (1,2,3), e a reta r2 que passa por C=(-1,0,1) e D=(2,1,0). Achar a equação da reta r que é ortogonal a r1 e r2 e corta a r1 e r2.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo! Temos duas retas no espaço:
  • Reta $ r_1 $ que passa pelos pontos $ A = (1,1,1) $ e $ B = (1,2,3) $.
  • Reta $ r_2 $ que passa pelos pontos $ C = (-1,0,1) $ e $ D = (2,1,0) $.
Precisamos:
  1. Descrever como essas duas retas estão posicionadas uma em relação à outra.
  2. Encontrar a equação da reta $ r $ que é ortogonal (ou seja, forma um ângulo de 90 graus) a ambas $ r_1 $ e $ r_2 $ e que corta ambas as retas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores diretores das retas, condições de ortogonalidade e interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as equações paramétricas das retas $ r_1 $ e $ r_2 $.
Para a reta $ r_1 $:
  • Ponto inicial $ A = (1,1,1) $.
  • Vetor diretor $ \vec{r_1} = B - A = (1-1, 2-1, 3-1) = (0,1,2) $.
Assim, a equação paramétrica de $ r_1 $ pode ser escrita como:
r1
onde $ t $ é o parâmetro.
Para a reta $ r_2 $:
  • Ponto inicial $ C = (-1,0,1) $.
  • Vetor diretor $ \vec{r_2} = D - C = (2 - (-1), 1 - 0, 0 - 1) = (3,1,-1) $.
Assim, a equação paramétrica de $ r_2 $ é:
r2
onde $ s $ é o parâmetro.

Passo 3

Agora, vamos descrever a posição relativa entre as retas $ r_1 $ e $ r_2 $.
  1. Paralelas ou Coincidentes?
    • Verificamos se os vetores diretores são múltiplos entre si.
    • Vetores diretores: $ \vec{r_1} = (0,1,2) $ e $ \vec{r_2} = (3,1,-1) $.
    • Claramente, $ \vec{r_1} $ não é múltiplo de $ \vec{r_2} $ (não existe um número $ k $ tal que $ 0 = 3k, 1 = 1k, 2 = -1k $).
    • Portanto, as retas não são paralelas nem coincidentes.
  2. Intersecção?
    • Vamos procurar se existe um ponto comum a $ r_1 $ e $ r_2 $.
    • Igualamos as coordenadas: r1
    • Resolvendo a primeira equação: $ 3s = 2 \Rightarrow s = \frac{2}{3} $.
    • Substituindo na segunda: $ 1 + t = \frac{2}{3} \Rightarrow t = -\frac{1}{3} $.
    • Verificando na terceira: $ 1 + 2(-\frac{1}{3}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $ e $ 1 - s = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $. Confere!
    • Portanto, as retas se intersectam no ponto $ P = (1, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}) $.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a reta $ r $ que é ortogonal a $ r_1 $ e $ r_2 $, e que corta ambas as retas.
  1. Encontrar o vetor diretor de $ r $:
    • Como $ r $ é ortogonal a $ r_1 $ e $ r_2 $, seu vetor diretor $ \vec{v} $ deve satisfazer: r
    • Vamos chamar $ \vec{v} = (a, b, c) $.
    • Aplicando o produto escalar: r1 r2
    • Da equação (1): $ b = -2c $.
    • Substituindo na equação (2): r
    • Então, podemos expressar $ \vec{v} = (c, -2c, c) $. Simplificando, podemos escolher $ c = 1 $: r
  2. Obter a equação paramétrica de $ r $:
    • Sabemos que $ r $ passa pelo ponto de interseção $ P = (1, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}) $.
    • Com vetor diretor $ \vec{v} = (1, -2, 1) $, a equação paramétrica de $ r $ é: r1 onde $ t $ é o parâmetro.

Resposta

A reta $ r $ que é ortogonal às retas $ r_1 $ e $ r_2 $ e que corta ambas pode ser descrita pelas seguintes equações paramétricas:
r
onde $ t $ é um número real.

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