22.11 •Uma carga puntiforme igual a
está no centro de um cubo cuja aresta possui um comprimento de
. (a) Qual é o fluxo elétrico através de cada uma das seis faces do cubo? (b) O que mudaria em sua resposta na parte (a) se a aresta do cubo tivesse um comprimento igual a
? Explique.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (isso veio do enunciado que você enviou).
- Informações fornecidas:
- Uma carga puntiforme
está no centro de um cubo. - O comprimento da aresta do cubo é
(parte (a)). - A parte (b) pergunta o que mudaria se a aresta fosse
.
- Uma carga puntiforme
- Perguntas pedidas:
- (a) Qual é o fluxo elétrico através de cada uma das seis faces do cubo?
- (b) O que muda na resposta da parte (a) se a aresta for
?
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
- Fluxo elétrico: o fluxo elétrico através de uma superfície é a integral do campo elétrico
sobre essa superfície:
onde
é o vetor de área (módulo igual à área infinitesimal e direção normal à superfície).
- Explicando as variáveis:
é o fluxo (unidade ), é o campo elétrico em cada ponto da superfície ( ), é o vetor área ( ). - Lei de Gauss (forma prática que usaremos): o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada que envolve uma carga
é
onde
é a permissividade do vácuo (
).
- Explicando: essa fórmula diz que o fluxo total depende só da carga elétrica que está dentro da superfície fechada, não da forma da superfície nem do tamanho — desde que a carga esteja totalmente dentro.
- Simetria: quando a carga pontual está exatamente no centro de um cubo, por simetria as seis faces recebem o mesmo fluxo. Logo o fluxo por face é
.
Passo 3
Converter unidades e escrever a expressão numérica.
- Converta a carga para coulombs:
- Usaremos
.
Passo 4
Calcular o fluxo total usando Gauss.
Substituindo numericamente:
- Interpretação rápida: esse é o fluxo total saindo de toda a face fechada do cubo; como a carga é positiva, o fluxo total é positivo (linhas de campo saem da carga).
Passo 5
Distribuir o fluxo igualmente entre as seis faces (simetria).
- Porque a carga está no centro, cada face é equivalente por simetria e recebe um sexto do fluxo total:
- Calculando numericamente:
Passo 6
Responder à parte (b): o que muda se a aresta for
?
- Pela Lei de Gauss, o fluxo total através de uma superfície fechada depende apenas da carga elétrica contida, não do tamanho ou forma da superfície. Como a carga continua no interior do cubo (ainda no centro), o fluxo total não muda.
- Portanto, mesmo que a aresta do cubo seja
, o fluxo através de cada face continua o mesmo (novamente dividido igualmente entre as seis faces devido à simetria): . - Intuição extra (para fixar): reduzir a aresta aproxima a superfície da carga, aumentando o campo em cada ponto da superfície, mas a área de superfície considerada para o fluxo muda de forma que o produto integral
permanece igual a .
Passo 7
Verificação de unidades e algarismos significativos.
- Unidades:
em — consistentes com . - Algarismos: a carga foi dada com três algarismos significativos (6,20), então reportei o resultado com três algarismos significativos:
por face.
Resposta
(a)
(b) Nada muda; o fluxo por face continua sendo .
(b) Nada muda; o fluxo por face continua sendo