22.11 •Uma carga puntiforme igual a 6,20 \mu \mathrm{C} está no centro de um cubo cuja aresta possui um comprimento de 0,500 \mathrm{~m}. (a) Qual é o fluxo elétrico através de cada uma das seis faces do cubo? (b) O que mudaria em sua resposta na parte (a) se a aresta do cubo tivesse um comprimento igual a 0,250 \mathrm{~m} ? Explique.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (isso veio do enunciado que você enviou).
  • Informações fornecidas:
    • Uma carga puntiforme q=6,20\\ \mu\mathrm{C} está no centro de um cubo.
    • O comprimento da aresta do cubo é 0,500\\ \mathrm{m} (parte (a)).
    • A parte (b) pergunta o que mudaria se a aresta fosse 0,250\\ \mathrm{m}.
  • Perguntas pedidas:
    • (a) Qual é o fluxo elétrico através de cada uma das seis faces do cubo?
    • (b) O que muda na resposta da parte (a) se a aresta for 0,250\\ \mathrm{m}?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Fluxo elétrico: o fluxo elétrico através de uma superfície é a integral do campo elétrico \mathbf{E} sobre essa superfície:
\Phi=\iint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A},
onde d\mathbf{A} é o vetor de área (módulo igual à área infinitesimal e direção normal à superfície).
  • Explicando as variáveis: \Phi é o fluxo (unidade \mathrm{N\cdot m^{2}/C}), \mathbf{E} é o campo elétrico em cada ponto da superfície ( \mathrm{N/C}), d\mathbf{A} é o vetor área ( \mathrm{m^{2}}).
  • Lei de Gauss (forma prática que usaremos): o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada que envolve uma carga q_{\text{int}} é
\Phi_{\text{total}}=\frac{q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0\approx 8,854\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}).
  • Explicando: essa fórmula diz que o fluxo total depende só da carga elétrica que está dentro da superfície fechada, não da forma da superfície nem do tamanho — desde que a carga esteja totalmente dentro.
  • Simetria: quando a carga pontual está exatamente no centro de um cubo, por simetria as seis faces recebem o mesmo fluxo. Logo o fluxo por face é \Phi_{\text{face}}=\dfrac{\Phi_{\text{total}}}{6}.

Passo 3

Converter unidades e escrever a expressão numérica.
  • Converta a carga para coulombs:
q = 6,20\\ \mu\mathrm{C} = 6,20\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Usaremos \varepsilon_0\approx 8,854\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}.

Passo 4

Calcular o fluxo total usando Gauss.
\Phi_{\text{total}}=\frac{q}{\varepsilon_0}
Substituindo numericamente:
\Phi_{\text{total}}=\frac{6,20\times10^{-6}}{8,854\times10^{-12}}=7,00\times10^{5}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.
  • Interpretação rápida: esse é o fluxo total saindo de toda a face fechada do cubo; como a carga é positiva, o fluxo total é positivo (linhas de campo saem da carga).

Passo 5

Distribuir o fluxo igualmente entre as seis faces (simetria).
  • Porque a carga está no centro, cada face é equivalente por simetria e recebe um sexto do fluxo total:
\Phi_{\text{face}}=\frac{\Phi_{\text{total}}}{6}.
  • Calculando numericamente:
\Phi_{\text{face}}=\frac{7,00\times10^{5}}{6}=1,17\times10^{5}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.

Passo 6

Responder à parte (b): o que muda se a aresta for 0,250\\ \mathrm{m}?
  • Pela Lei de Gauss, o fluxo total através de uma superfície fechada depende apenas da carga elétrica contida, não do tamanho ou forma da superfície. Como a carga continua no interior do cubo (ainda no centro), o fluxo total não muda.
  • Portanto, mesmo que a aresta do cubo seja 0,250\\ \mathrm{m}, o fluxo através de cada face continua o mesmo (novamente dividido igualmente entre as seis faces devido à simetria): \Phi_{\text{face}}=1,17\times10^{5}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.
  • Intuição extra (para fixar): reduzir a aresta aproxima a superfície da carga, aumentando o campo em cada ponto da superfície, mas a área de superfície considerada para o fluxo muda de forma que o produto integral \iint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} permanece igual a q/\varepsilon_0.

Passo 7

Verificação de unidades e algarismos significativos.
  • Unidades: \Phi em \mathrm{N\cdot m^{2}/C} — consistentes com q/\varepsilon_0.
  • Algarismos: a carga foi dada com três algarismos significativos (6,20), então reportei o resultado com três algarismos significativos: 1,17\times10^{5}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C} por face.

Resposta

(a) \Phi_{\text{face}}=1,17\times10^{5}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}
(b) Nada muda; o fluxo por face continua sendo \Phi_{\text{face}}=1,17\times10^{5}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.

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