22.28 • Uma folha isolante quadrada, com lado igual a
, é mantida em uma posição horizontal. A folha possui carga de
, distribuída uniformemente sobre sua superfície. (a) Calcule o campo elétrico em um ponto a uma distância de
acima do centro da folha. (b) Estime o campo elétrico em um ponto situado a 100 m acima do centro da folha. (c) Suas respostas para os itens (a) e (b) seriam diferentes se a folha fosse feita de um material condutor? Por quê?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar os dados que usarei, todos pegos do enunciado):
- Lado da folha:
. - Carga total na folha:
. - A carga está distribuída uniformemente sobre a superfície da folha (interpreto isso como carga superficial efetiva sobre a área do quadrado).
- Pedidos:
(a) Calcular o campo elétrico em um ponto aacima do centro da folha.
(b) Estimar o campo elétrico em um ponto aacima do centro da folha.
(c) Dizer se as respostas anteriores seriam diferentes se a folha fosse de material condutor e justificar.
Passo 2
Primeiro calculamos a densidade superficial de carga
, que é a carga por unidade de área da folha. A área do quadrado é
Logo
Explicando a ideia:
é a quantidade de carga por metro quadrado. Essa é a grandeza que aparece nas fórmulas de campo de chapas carregadas.
Passo 3
Vamos apresentar a fórmula que usaremos para o campo no eixo normal ao centro de uma placa retangular de lados
e
(placa centrada na origem, ponto sobre o eixo
a uma distância
do plano). Para essa geometria a componente do campo perpendicular ao plano,
, é
onde
é a permissividade do vácuo (
), e
e
são as semi‑larguras da placa nas direções
e
(ou seja, a placa tem extensão
,
). Comentário didático: essa expressão vem da integração da contribuição de cada elemento de área
usando a lei de Coulomb; o fator com arctan resulta da soma das quatro contribuições dos cantos da placa. Dois limites úteis:
- Se
(ponto muito próximo e placa grande), a arctan tende a e obtemos (resultado do plano infinito, campo de intensidade em cada lado). - Se
(ponto muito distante), a placa comporta‑se como carga pontual e .
Passo 4
Aplicando ao nosso quadrado: lado
implica semi‑lado
Substituiremos
na fórmula; então o argumento do arctan fica
Também calculamos o fator
. Com os números:
Portanto
Vou usar esse prefator para calcular os itens (a) e (b).
Passo 5
Calcular o argumento do arctan:
Para um argumento tão grande temos
(mas basta aproximar por
com correção pequena). Assim
Agora o campo:
Interpretação física e sinal: a folha está carregada positivamente, então o campo aponta para longe da folha; no ponto acima do centro o campo aponta para cima (sentido “afastando‑se” da folha). Observação prática: como
é muito pequeno comparado ao semi‑lado, o valor fica muito próximo de
; de fato
o que confirma a consistência.
Passo 6
Agora
é muito maior que as dimensões da placa, então podemos usar a expressão exata ou a aproximação de carga pontual. Faço as contas para ver:
Para argumento pequeno
. Assim
Então
Verificação pela aproximação da carga pontual: para
dimensões,
. Calculando:
mesmo valor, como esperado. Direção: novamente para longe da folha (para cima).
Passo 7
Explicação didática e física, passo a passo:
- Em um condutor em equilíbrio eletrostático, a carga líquida reside nas superfícies externas do condutor.
- Para uma folha metálica muito fina e simetricamente isolada, as cargas se distribuem igualmente nas duas faces planas da folha (cada face recebe
), porque as duas faces estão geometricamente equivalentes. - A densidade superficial em cada face do condutor seria então
(onde foi a densidade definida no caso da folha isolante como ). - O campo imediatamente fora de uma superfície condutora carregada é
apontando para fora; substituindo dá . - No caso da folha isolante (com carga distribuída sobre a superfície conforme assumimos), o campo imediatamente acima do centro quando
é muito pequeno também tende a . Para pontos longe ( dimensões) tanto condutor quanto isolante apresentam o campo do total como se fosse carga pontual.
Conclusão direta: para os pontos pedidos (um muito próximo ao centro e outro muito distante) o valor numérico do campo fora da folha seria o mesmo se a folha fosse condutora (desde que a geometria seja simétrica), porque a distribuição efetiva de carga vista do exterior é equivalente: metade da carga em cada face do condutor produz o mesmo campo externo que a distribuição superficial usada para a folha isolante.
Resposta
(a)
apontando para longe da folha (para cima).
(b) apontando para longe da folha (para cima).
(c) Não — os valores não mudariam para esses pontos: um condutor fino simétrico colocaria carga nas duas faces (cada face com densidade ), resultando em
externo igual ao caso considerado (e, para
dimensões, ambos se comportam como carga pontual
).
(b)
(c) Não — os valores não mudariam para esses pontos: um condutor fino simétrico colocaria carga nas duas faces (cada face com densidade