22.28 • Uma folha isolante quadrada, com lado igual a 80,0 \mathrm{~cm}, é mantida em uma posição horizontal. A folha possui carga de 4,50 \mathrm{nC}, distribuída uniformemente sobre sua superfície. (a) Calcule o campo elétrico em um ponto a uma distância de 0,100 \mathrm{~mm} acima do centro da folha. (b) Estime o campo elétrico em um ponto situado a 100 m acima do centro da folha. (c) Suas respostas para os itens (a) e (b) seriam diferentes se a folha fosse feita de um material condutor? Por quê?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar os dados que usarei, todos pegos do enunciado):
  • Lado da folha: L=80{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}800\\ \mathrm{m}.
  • Carga total na folha: Q=4{,}50\\ \mathrm{nC}=4{,}50\times 10^{-9}\\ \mathrm{C}.
  • A carga está distribuída uniformemente sobre a superfície da folha (interpreto isso como carga superficial efetiva sobre a área do quadrado).
  • Pedidos:
    (a) Calcular o campo elétrico em um ponto a 0{,}100\\ \mathrm{mm}=1{,}00\times 10^{-4}\\ \mathrm{m} acima do centro da folha.
    (b) Estimar o campo elétrico em um ponto a 100\\ \mathrm{m} acima do centro da folha.
    (c) Dizer se as respostas anteriores seriam diferentes se a folha fosse de material condutor e justificar.

Passo 2

Primeiro calculamos a densidade superficial de carga \sigma, que é a carga por unidade de área da folha. A área do quadrado é
A = L^{2} = (0{,}800\\ \mathrm{m})^{2} = 0{,}640\\ \mathrm{m}^{2}.
Logo
\sigma=\dfrac{Q}{A}=\dfrac{4{,}50\times 10^{-9}\\ \mathrm{C}}{0{,}640\\ \mathrm{m}^{2}}=7{,}03125\times 10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
Explicando a ideia: \sigma é a quantidade de carga por metro quadrado. Essa é a grandeza que aparece nas fórmulas de campo de chapas carregadas.

Passo 3

Vamos apresentar a fórmula que usaremos para o campo no eixo normal ao centro de uma placa retangular de lados 2a e 2b (placa centrada na origem, ponto sobre o eixo z a uma distância z do plano). Para essa geometria a componente do campo perpendicular ao plano, E_{z}, é
E_{z}=\dfrac{\sigma}{4\pi\varepsilon_{0}}\;4\arctan\!\biggl(\dfrac{ab}{z\sqrt{z^{2}+a^{2}+b^{2}}}\biggr),
onde \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_{0}=8{,}854187817\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m}), e a e b são as semi‑larguras da placa nas direções x e y (ou seja, a placa tem extensão x\in[-a,a], y\in[-b,b]). Comentário didático: essa expressão vem da integração da contribuição de cada elemento de área \mathrm{d}A usando a lei de Coulomb; o fator com arctan resulta da soma das quatro contribuições dos cantos da placa. Dois limites úteis:
  • Se z\ll a,b (ponto muito próximo e placa grande), a arctan tende a \pi/2 e obtemos E_{z}\to \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} (resultado do plano infinito, campo de intensidade \sigma/(2\varepsilon_{0}) em cada lado).
  • Se z\gg a,b (ponto muito distante), a placa comporta‑se como carga pontual Q e E_{z}\to \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{z^{2}}.

Passo 4

Aplicando ao nosso quadrado: lado L=0{,}800\\ \mathrm{m} implica semi‑lado
a=b=\dfrac{L}{2}=0{,}400\\ \mathrm{m}.
Substituiremos a=b na fórmula; então o argumento do arctan fica
\frac{ab}{z\sqrt{z^{2}+a^{2}+b^{2}}}=\frac{a^{2}}{z\sqrt{z^{2}+2a^{2}}}.
Também calculamos o fator \dfrac{\sigma}{4\pi\varepsilon_{0}}. Com os números:
4\pi\varepsilon_{0}=4\pi(8{,}854187817\times 10^{-12})\\ \mathrm{F/m}=1{,}112650056\times 10^{-10}\\ \mathrm{F/m}.
Portanto
\dfrac{\sigma}{4\pi\varepsilon_{0}}=\dfrac{7{,}03125\times 10^{-9}}{1{,}112650056\times 10^{-10}} \approx 63{,}1859\\ \mathrm{N/C}.
Vou usar esse prefator para calcular os itens (a) e (b).

Passo 5

Calcular o argumento do arctan:
a^{2}=0{,}4^{2}=0{,}16\\ \mathrm{m^{2}},
\sqrt{z^{2}+2a^{2}}=\sqrt{(1{,}00\times 10^{-4})^{2}+2(0{,}16)}=\sqrt{0{,}32000001}\approx 0{,}5656854\\ \mathrm{m},
\frac{a^{2}}{z\sqrt{z^{2}+2a^{2}}}=\frac{0{,}16}{(1{,}00\times 10^{-4})(0{,}5656854)}\approx 2828{,}4271.
Para um argumento tão grande temos \arctan(2828{,}4)\approx \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{2828{,}4} (mas basta aproximar por \pi/2 com correção pequena). Assim
4\arctan(\cdots)\approx 4\left(1{,}570442774\right)=6{,}281771096.
Agora o campo:
E_{z}=\left(\dfrac{\sigma}{4\pi\varepsilon_{0}}\right)\!4\arctan(\cdots)\approx 63{,}1859\times 6{,}281771096\approx 397{,}01\\ \mathrm{N/C}.
Interpretação física e sinal: a folha está carregada positivamente, então o campo aponta para longe da folha; no ponto acima do centro o campo aponta para cima (sentido “afastando‑se” da folha). Observação prática: como z é muito pequeno comparado ao semi‑lado, o valor fica muito próximo de \sigma/(2\varepsilon_{0}); de fato
\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}=\dfrac{7{,}03125\times 10^{-9}}{2(8{,}854187817\times 10^{-12})}\approx 397{,}16\\ \mathrm{N/C},
o que confirma a consistência.

Passo 6

Agora z é muito maior que as dimensões da placa, então podemos usar a expressão exata ou a aproximação de carga pontual. Faço as contas para ver:
\sqrt{z^{2}+2a^{2}}=\sqrt{(100)^{2}+0{,}32}\approx 100{,}0016\\ \mathrm{m},
\frac{a^{2}}{z\sqrt{z^{2}+2a^{2}}}=\frac{0{,}16}{100\times 100{,}0016}\approx 1{,}5999744\times 10^{-5}.
Para argumento pequeno \arctan(x)\approx x. Assim
4\arctan(\cdots)\approx 4\times 1{,}5999744\times 10^{-5}=6{,}3998976\times 10^{-5}.
Então
E_{z}\approx 63{,}1859\times 6{,}3998976\times 10^{-5}\approx 4{,}04493\times 10^{-3}\\ \mathrm{N/C}.
Verificação pela aproximação da carga pontual: para z\gg dimensões, E\approx \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{z^{2}}. Calculando:
\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}z^{2}}=\dfrac{4{,}50\times 10^{-9}}{1{,}112650056\times 10^{-10}\times(100)^{2}}\approx 4{,}04493\times 10^{-3}\\ \mathrm{N/C},
mesmo valor, como esperado. Direção: novamente para longe da folha (para cima).

Passo 7

Explicação didática e física, passo a passo:
  • Em um condutor em equilíbrio eletrostático, a carga líquida reside nas superfícies externas do condutor.
  • Para uma folha metálica muito fina e simetricamente isolada, as cargas se distribuem igualmente nas duas faces planas da folha (cada face recebe Q/2), porque as duas faces estão geometricamente equivalentes.
  • A densidade superficial em cada face do condutor seria então \sigma_{\text{face}}=\dfrac{Q/2}{A}=\dfrac{Q}{2A}=\dfrac{\sigma}{2} (onde \sigma foi a densidade definida no caso da folha isolante como Q/A).
  • O campo imediatamente fora de uma superfície condutora carregada é E=\dfrac{\sigma_{\text{face}}}{\varepsilon_{0}} apontando para fora; substituindo \sigma_{\text{face}}=\sigma/2 E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}.
  • No caso da folha isolante (com carga distribuída sobre a superfície conforme assumimos), o campo imediatamente acima do centro quando z é muito pequeno também tende a \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}. Para pontos longe ( z\gg dimensões) tanto condutor quanto isolante apresentam o campo do total Q como se fosse carga pontual.
    Conclusão direta: para os pontos pedidos (um muito próximo ao centro e outro muito distante) o valor numérico do campo fora da folha seria o mesmo se a folha fosse condutora (desde que a geometria seja simétrica), porque a distribuição efetiva de carga vista do exterior é equivalente: metade da carga em cada face do condutor produz o mesmo campo externo que a distribuição superficial usada para a folha isolante.

Resposta

(a) E\approx 3{,}97\times 10^{2}\\ \mathrm{N/C} apontando para longe da folha (para cima).
(b) E\approx 4{,}04\times 10^{-3}\\ \mathrm{N/C} apontando para longe da folha (para cima).
(c) Não — os valores não mudariam para esses pontos: um condutor fino simétrico colocaria carga nas duas faces (cada face com densidade \sigma/2), resultando em E externo igual ao caso considerado (e, para z\gg dimensões, ambos se comportam como carga pontual Q).

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