22.16 - Alguns cientistas planetários sugeriram que Marte possui um campo elétrico semelhante ao da Terra, produzindo um fluxo elétrico resultante de
na superfície do planeta. Calcule: (a) a carga elétrica total sobre o planeta; (b) o campo elétrico na superfície do planeta (consulte os dados de astronomia nos apêndices); (c) a densidade de carga em Marte, supondo que toda carga esteja uniformemente distribuída pela superfície do planeta.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado e dos apêndices astronômicos).
- Fluxo elétrico total através da superfície de Marte:
. - O enunciado pede:
(a) a carga elétrica total sobre o planeta;
(b) o campo elétrico na superfície do planeta;
(c) a densidade de carga na superfície de Marte, supondo carga uniformemente distribuída. - Dados adicionais que vou usar (valores dos apêndices):
- raio médio de Marte:
. - permissividade do vácuo:
.
- raio médio de Marte:
Passo 2
Fórmula que relaciona fluxo e carga (Lei de Gauss, em forma integral simples para a superfície fechada):
onde
é o fluxo elétrico através da superfície fechada,
é a carga total contida dentro da superfície e
é a permissividade do vácuo. Esta fórmula vem do fato de que a integral do campo elétrico normal sobre uma superfície fechada dá a carga envolvida dividida por
. Portanto a carga total é
Agora substituo os valores numéricos e mostro passo a passo a multiplicação dos mantissas e expoentes:
Multiplicando mantissas:
. Somando expoentes:
. Logo
Arredondando a uma precisão prudente:
Passo 3
Para achar o campo elétrico na superfície usamos que, para uma superfície esférica onde o campo é radial e uniforme em módulo na superfície, o fluxo é
, onde
é a área da superfície. Assim
Calculo da área da superfície da esfera:
Faço os cálculos passo a passo: primeiro
:
Agora a área:
Passo 4
Agora calculo o campo elétrico na superfície usando
:
Faço a divisão dos mantissas e a subtração dos expoentes:
Portanto
O sinal negativo indica que o campo é apontado para dentro da superfície (direção radial para o centro de Marte). Em valor absoluto:
.
Passo 5
Para a densidade de carga superficial
(carga por unidade de área), quando toda a carga está uniformemente distribuída na superfície, usamos
Substituindo os valores já calculados:
Dividindo mantissas e ausentes expoentes:
Logo
Arredondando de forma consistente:
Passo 6
Pequena verificação de consistência (opcional e rápida): usando a forma usual do campo de uma esfera carregada,
substituindo
devolve
, ou seja, é consistente com o caminho usado. Números obtidos estão coerentes entre si.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)