22.16 - Alguns cientistas planetários sugeriram que Marte possui um campo elétrico semelhante ao da Terra, produzindo um fluxo elétrico resultante de -3,63 \times 10^{16} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{C} na superfície do planeta. Calcule: (a) a carga elétrica total sobre o planeta; (b) o campo elétrico na superfície do planeta (consulte os dados de astronomia nos apêndices); (c) a densidade de carga em Marte, supondo que toda carga esteja uniformemente distribuída pela superfície do planeta.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado e dos apêndices astronômicos).
  • Fluxo elétrico total através da superfície de Marte: \Phi = -3,63\times10^{16}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.
  • O enunciado pede:
    (a) a carga elétrica total sobre o planeta;
    (b) o campo elétrico na superfície do planeta;
    (c) a densidade de carga na superfície de Marte, supondo carga uniformemente distribuída.
  • Dados adicionais que vou usar (valores dos apêndices):
    • raio médio de Marte: R = 3,3895\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
    • permissividade do vácuo: \varepsilon_{0} = 8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})}.

Passo 2

Fórmula que relaciona fluxo e carga (Lei de Gauss, em forma integral simples para a superfície fechada):
\Phi = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}},
onde \Phi é o fluxo elétrico através da superfície fechada, Q_{\text{enc}} é a carga total contida dentro da superfície e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo. Esta fórmula vem do fato de que a integral do campo elétrico normal sobre uma superfície fechada dá a carga envolvida dividida por \varepsilon_{0}. Portanto a carga total é
Q = \varepsilon_{0}\,\Phi.
Agora substituo os valores numéricos e mostro passo a passo a multiplicação dos mantissas e expoentes:
Q = \left(8,854187817\times10^{-12}\right)\left(-3,63\times10^{16}\right).
Multiplicando mantissas: 8,854187817\times3,63 \approx 32,1407. Somando expoentes: -12+16=4. Logo
Q \approx -32,1407\times10^{4}\\ \mathrm{C} = -3,21407\times10^{5}\\ \mathrm{C}.
Arredondando a uma precisão prudente:
Q \approx -3,21\times10^{5}\\ \mathrm{C}.

Passo 3

Para achar o campo elétrico na superfície usamos que, para uma superfície esférica onde o campo é radial e uniforme em módulo na superfície, o fluxo é \Phi = E\,A, onde A é a área da superfície. Assim
E=\frac{\Phi}{A}.
Calculo da área da superfície da esfera:
A = 4\pi R^{2}.
Faço os cálculos passo a passo: primeiro R^{2}:
R^{2} = \left(3,3895\times10^{6}\right)^{2} \approx 1,14887\times10^{13}\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora a área:
A = 4\pi \times 1,14887\times10^{13} \approx 1,44364\times10^{14}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Agora calculo o campo elétrico na superfície usando E=\Phi/A:
E = \frac{-3,63\times10^{16}}{1,44364\times10^{14}}\\ \mathrm{N/C}.
Faço a divisão dos mantissas e a subtração dos expoentes:
\frac{3,63}{1,44364}\approx2,514\quad\text{e}\quad10^{16-14}=10^{2}.
Portanto
E \approx -2,514\times10^{2}\\ \mathrm{N/C} = -2,51\times10^{2}\\ \mathrm{N/C}.
O sinal negativo indica que o campo é apontado para dentro da superfície (direção radial para o centro de Marte). Em valor absoluto: |E|\approx2,51\times10^{2}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 5

Para a densidade de carga superficial \sigma (carga por unidade de área), quando toda a carga está uniformemente distribuída na superfície, usamos
\sigma=\frac{Q}{A}.
Substituindo os valores já calculados:
\sigma = \frac{-3,21407\times10^{5}}{1,44364\times10^{14}}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
Dividindo mantissas e ausentes expoentes:
\frac{3,21407}{1,44364}\approx2,227\quad\text{e}\quad10^{5-14}=10^{-9}.
Logo
\sigma \approx -2,227\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
Arredondando de forma consistente:
\sigma \approx -2,23\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}}.

Passo 6

Pequena verificação de consistência (opcional e rápida): usando a forma usual do campo de uma esfera carregada,
E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R^{2}},
substituindo Q=\varepsilon_{0}\Phi devolve E=\Phi/(4\pi R^{2})=\Phi/A, ou seja, é consistente com o caminho usado. Números obtidos estão coerentes entre si.

Resposta

(a) -3,21\times10^{5}\\ \mathrm{C}
(b) -2,51\times10^{2}\\ \mathrm{N/C}
(c) -2,23\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}}

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