Um condutor cilíndrico infinito possui raio
e densidade superficial de carga
. (a) Em função de
e
, qual é a carga por unidade de comprimento
para o cilindro? (b) Em função de
, qual é o módulo do campo elétrico produzido pelo cilindro carregado a uma distância
a partir de seu eixo? (c) Expresse o resultado do item (b) em função de
e mostre que o campo elétrico para fora do cilindro se comporta como se toda a carga elétrica do cilindro estivesse concentrada em seu eixo. Compare suas respostas com o resultado obtido para um fio carregado no Exemplo 22.6 (Seção 22.4).
Passo 1
O enunciado dá um cilindro condutor infinito de raio
com densidade superficial de carga
(isto é, carga por unidade de área na superfície do cilindro). As perguntas são:
- (a) Em função de
e , qual é a carga por unidade de comprimento do cilindro? - (b) Em função de
, qual é o módulo do campo elétrico produzido pelo cilindro carregado a uma distância do eixo? - (c) Expresse o resultado do item (b) em função de
e mostre que, fora do cilindro, o campo se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no eixo; comparar com o resultado para um fio carregado (Exemplo 22.6).
Informações relevantes dadas:
- Raio do cilindro:
. - Densidade superficial de carga na superfície:
(unidade: carga por área). - O cilindro é infinito (importante para simetria).
- Queremos o campo para
(fora do cilindro).
Passo 2
Calcular
(carga por unidade de comprimento) a partir de
.
Explicação do que é
e como obter
:
é carga por unidade de área na superfície do cilindro. Se eu pegar um trecho do cilindro de comprimento
, a área da superfície lateral desse trecho é
. A carga total nesse trecho é então a densidade superficial vezes a área.
Cálculo:
A carga por unidade de comprimento
é a carga total dividida por
:
Portanto
. Foi simples: transformar carga por área em carga por comprimento.
Passo 3
Preparar para calcular o campo
para
usando a Lei de Gauss e simetria.
A Lei de Gauss (em palavras simples) diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro da superfície dividida por
:
Aqui
é a permissividade elétrica do vácuo;
é a carga contida na superfície fechada.
Por que usar Gauss e qual superfície escolher? O cilindro é infinito e uniformemente carregado na superfície, então por simetria:
- O campo elétrico fora depende só da distância radial
ao eixo (não depende do ângulo nem da posição axial). - O campo aponta radialmente para fora (simetria cilíndrica).
Essas simetrias tornam conveniente escolher como superfície gaussiana um cilindro coaxial de raioe comprimento , com .
Passo 4
Calcular o fluxo e
para a superfície gaussiana escolhida.
Descrição da superfície gaussiana: cilindro de raio
e comprimento
, coaxial com o cilindro carregado.
Comportamento do campo sobre as partes da superfície gaussiana:
- Superfície lateral (curvada): o vetor campo
é radial e tem módulo constante na superfície curvada; o vetor área é também radial. Então e o fluxo pela lateral é vezes a área lateral. - Tampas (bases planas nos extremos): os vetores área são paralelos ao eixo; o campo é radial (perpendicular ao eixo), logo
nas tampas. Então as tampas não contribuem para o fluxo.
Fluxo total:
Carga encerrada
: toda a carga do cilindro original contida dentro do comprimento
está dentro da superfície gaussiana (pois
), ou seja
(peguei isso do cálculo do Passo 2).
Aplicando a Lei de Gauss:
Passo 5
Isolar
e interpretar o resultado.
Da equação do passo anterior, simplificando
dos dois lados:
Portanto
Observações didáticas:
- O campo fora do cilindro decai como
. Isso faz sentido: em simetria cilíndrica a dependência é (em vez de que aparece na simetria esférica). - Cada quantidade:
é carga por área na superfície; é o raio; é constante física; é a distância radial ao eixo onde se avalia .
Passo 6
Expressar
em função de
e comparar com o caso do fio carregado.
Usando
(Passo 2), podemos escrever:
Substituindo em
:
Interpretação física: o campo fora do cilindro é exatamente o mesmo que o campo produzido por uma linha infinita de densidade linear
localizada no eixo, porque o campo de um fio infinito com carga por comprimento
é
Portanto, para pontos fora do cilindro, o campo se comporta como se toda a carga do cilindro estivesse concentrada no eixo — isto é, o potencial/field fora depende apenas de
e da distância
, não do detalhe da distribuição radial interna, desde que a carga esteja confinada ao raio
. Isso coincide com o resultado do Exemplo 22.6 (Seção 22.4) para um fio carregado.
(Ênfase: isso é análogo ao que ocorre em eletrostática esférica, onde fora de uma casca esférica carregada o campo é como se a carga estivesse no centro.)
Resposta
(a)
(b)
, para
(c)
, que é o mesmo resultado do campo de um fio infinito com densidade linear
(portanto, fora do cilindro o campo se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no eixo).