Um condutor cilíndrico infinito possui raio R e densidade superficial de carga \sigma. (a) Em função de \sigma e R, qual é a carga por unidade de comprimento \lambda para o cilindro? (b) Em função de \sigma, qual é o módulo do campo elétrico produzido pelo cilindro carregado a uma distância r>R a partir de seu eixo? (c) Expresse o resultado do item (b) em função de \lambda e mostre que o campo elétrico para fora do cilindro se comporta como se toda a carga elétrica do cilindro estivesse concentrada em seu eixo. Compare suas respostas com o resultado obtido para um fio carregado no Exemplo 22.6 (Seção 22.4).

Passo 1

O enunciado dá um cilindro condutor infinito de raio R com densidade superficial de carga \sigma (isto é, carga por unidade de área na superfície do cilindro). As perguntas são:
  • (a) Em função de \sigma e R, qual é a carga por unidade de comprimento \lambda do cilindro?
  • (b) Em função de \sigma, qual é o módulo do campo elétrico produzido pelo cilindro carregado a uma distância r>R do eixo?
  • (c) Expresse o resultado do item (b) em função de \lambda e mostre que, fora do cilindro, o campo se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no eixo; comparar com o resultado para um fio carregado (Exemplo 22.6).
Informações relevantes dadas:
  • Raio do cilindro: R.
  • Densidade superficial de carga na superfície: \sigma (unidade: carga por área).
  • O cilindro é infinito (importante para simetria).
  • Queremos o campo para r>R (fora do cilindro).

Passo 2

Calcular \lambda (carga por unidade de comprimento) a partir de \sigma.
Explicação do que é \sigma e como obter \lambda: \sigma é carga por unidade de área na superfície do cilindro. Se eu pegar um trecho do cilindro de comprimento L, a área da superfície lateral desse trecho é 2\pi R L. A carga total nesse trecho é então a densidade superficial vezes a área.
Cálculo:
q_{\text{trecho}}=\sigma\cdot(2\pi R L).
A carga por unidade de comprimento \lambda é a carga total dividida por L:
\lambda=\frac{q_{\text{trecho}}}{L}=\frac{\sigma\cdot(2\pi R L)}{L}=2\pi R\sigma.
Portanto \lambda=2\pi R\sigma. Foi simples: transformar carga por área em carga por comprimento.

Passo 3

Preparar para calcular o campo E(r) para r>R usando a Lei de Gauss e simetria.
A Lei de Gauss (em palavras simples) diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro da superfície dividida por \varepsilon_0:
\Phi_{\text{total}}=\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
Aqui \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo; q_{\text{enc}} é a carga contida na superfície fechada.
Por que usar Gauss e qual superfície escolher? O cilindro é infinito e uniformemente carregado na superfície, então por simetria:
  • O campo elétrico fora depende só da distância radial r ao eixo (não depende do ângulo nem da posição axial).
  • O campo aponta radialmente para fora (simetria cilíndrica).
    Essas simetrias tornam conveniente escolher como superfície gaussiana um cilindro coaxial de raio r e comprimento L, com r>R.

Passo 4

Calcular o fluxo e q_{\text{enc}} para a superfície gaussiana escolhida.
Descrição da superfície gaussiana: cilindro de raio r e comprimento L, coaxial com o cilindro carregado.
Comportamento do campo sobre as partes da superfície gaussiana:
  • Superfície lateral (curvada): o vetor campo \mathbf{E} é radial e tem módulo constante E(r) na superfície curvada; o vetor área d\mathbf{A} é também radial. Então \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\,dA e o fluxo pela lateral é E(r) vezes a área lateral.
  • Tampas (bases planas nos extremos): os vetores área são paralelos ao eixo; o campo é radial (perpendicular ao eixo), logo \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0 nas tampas. Então as tampas não contribuem para o fluxo.
Fluxo total:
\Phi_{\text{total}}=E(r)\cdot(\text{área lateral})=E(r)\cdot(2\pi r L).á
Carga encerrada q_{\text{enc}}: toda a carga do cilindro original contida dentro do comprimento L está dentro da superfície gaussiana (pois r>R), ou seja q_{\text{enc}}=\sigma\cdot(2\pi R L) (peguei isso do cálculo do Passo 2).
Aplicando a Lei de Gauss:
E(r)\cdot(2\pi r L)=\frac{\sigma\cdot(2\pi R L)}{\varepsilon_0}.

Passo 5

Isolar E(r) e interpretar o resultado.
Da equação do passo anterior, simplificando 2\pi L dos dois lados:
E(r)\,r=\frac{\sigma R}{\varepsilon_0}.
Portanto
E(r)=\frac{\sigma R}{\varepsilon_0\,r},\qquad r>R.
Observações didáticas:
  • O campo fora do cilindro decai como 1/r. Isso faz sentido: em simetria cilíndrica a dependência é 1/r (em vez de 1/r^2 que aparece na simetria esférica).
  • Cada quantidade: \sigma é carga por área na superfície; R é o raio; \varepsilon_0 é constante física; r é a distância radial ao eixo onde se avalia E.

Passo 6

Expressar E(r) em função de \lambda e comparar com o caso do fio carregado.
Usando \lambda=2\pi R\sigma (Passo 2), podemos escrever:
\sigma R=\frac{\lambda}{2\pi}.
Substituindo em E(r)=\dfrac{\sigma R}{\varepsilon_0 r}:
E(r)=\frac{1}{\varepsilon_0 r}\cdot\frac{\lambda}{2\pi}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}.
Interpretação física: o campo fora do cilindro é exatamente o mesmo que o campo produzido por uma linha infinita de densidade linear \lambda localizada no eixo, porque o campo de um fio infinito com carga por comprimento \lambda é
E_{\text{fio}}(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}.
Portanto, para pontos fora do cilindro, o campo se comporta como se toda a carga do cilindro estivesse concentrada no eixo — isto é, o potencial/field fora depende apenas de \lambda e da distância r, não do detalhe da distribuição radial interna, desde que a carga esteja confinada ao raio R. Isso coincide com o resultado do Exemplo 22.6 (Seção 22.4) para um fio carregado.
(Ênfase: isso é análogo ao que ocorre em eletrostática esférica, onde fora de uma casca esférica carregada o campo é como se a carga estivesse no centro.)

Resposta

(a) \lambda=2\pi R\sigma
(b) E(r)=\dfrac{\sigma R}{\varepsilon_0\,r}, para r>R
(c) E(r)=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}, que é o mesmo resultado do campo de um fio infinito com densidade linear \lambda (portanto, fora do cilindro o campo se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no eixo).

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