Questão 5 Uma máquina de Carnot opera entre as temperatura T_{Q}=800 \mathrm{~K} e T_{F}=300 \mathrm{~K}. A máquina realiza 1200 J de trabalho em cada ciclo que leva 0,25 \mathrm{~s}. (a) (0,5) Qual é a eficiência da máquina? (b) (0,5) Qual é a potência média da máquina? (c) (\mathbf{0 , 5}) Qual é a energia \left|Q_{Q}\right| extraída na forma de calor da fonte quente a cada ciclo? (d) (0,5) Qual é a energia \left|Q_{F}\right| liberada em forma de para a fonte fria a cada ciclo? (e) (\mathbf{0 , 5}) De quanto varia a entropia da substância de trabalho devido à energia recebida da fonte quente? (f) (0,5) De quanto varia a entropia da substância de trabalho devido à energia cedida à fonte fria?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda). Dados extraídos do enunciado:
  • Temperatura da fonte quente: T_{Q}=800\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura da fonte fria: T_{F}=300\\ \mathrm{K}.
  • Trabalho realizado por ciclo: W=1200\\ \mathrm{J}.
  • Duração de cada ciclo: t_{\text{ciclo}}=0,25\\ \mathrm{s}.
O enunciado pede:
(a) Qual é a eficiência da máquina?
(b) Qual é a potência média da máquina?
(c) Qual é a energia \left|Q_{Q}\right| extraída (calor recebido) da fonte quente a cada ciclo?
(d) Qual é a energia \left|Q_{F}\right| liberada para a fonte fria a cada ciclo?
(e) De quanto varia a entropia da substância de trabalho devido à energia recebida da fonte quente?
(f) De quanto varia a entropia da substância de trabalho devido à energia cedida à fonte fria?

Passo 2

(a) Definição e cálculo da eficiência de uma máquina de Carnot.
Explicação da fórmula: para uma máquina de Carnot (reversível) operando entre temperaturas T_{Q} (quente) e T_{F} (fria), a eficiência máxima é dada por
\eta = 1 - \frac{T_{F}}{T_{Q}}.
O que significa cada símbolo:
  • \eta é a eficiência (fração do calor de entrada convertido em trabalho).
  • T_{Q} é a temperatura absoluta da fonte quente (em kelvin).
  • T_{F} é a temperatura absoluta da fonte fria (em kelvin).
Breve razão física (intuição): numa máquina reversível a razão entre os calores está ligada às temperaturas pelo fato de reversibilidade: \dfrac{Q_{F}}{Q_{Q}}=\dfrac{T_{F}}{T_{Q}}; como \eta=1-\dfrac{Q_{F}}{Q_{Q}}, substitui-se e obtém-se a fórmula acima.
Agora calculo numérico passo a passo:
\eta = 1 - \frac{T_{F}}{T_{Q}} = 1 - \frac{300}{800} = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}.
Convertendo para decimal e porcentagem:
\frac{5}{8}=0,625=62{,}5\%.

Passo 3

(b) Potência média da máquina.
Definição e fórmula: potência média P é a razão entre o trabalho realizado por ciclo W e o tempo de um ciclo t_{\text{ciclo}}:
P=\frac{W}{t_{\text{ciclo}}}.
Explicação das variáveis:
  • P em watts ( \mathrm{W}), onde 1\\ \mathrm{W}=1\\ \mathrm{J/s}.
  • W em joules ( \mathrm{J}).
  • t_{\text{ciclo}} em segundos ( \mathrm{s}).
Cálculo numérico:
P=\frac{1200}{0,25}=1200\times\frac{1}{0,25}=1200\times4=4800\\ \mathrm{W}.

Passo 4

(c) Energia extraída da fonte quente por ciclo ( \left|Q_{Q}\right|).
Relação entre eficiência, trabalho e calor de entrada: por definição de eficiência,
\eta=\frac{W}{Q_{Q}} \quad\Rightarrow\quad Q_{Q}=\frac{W}{\eta}.
Explicação: Q_{Q} é o calor absorvido da fonte quente; a eficiência é a fração desse calor que vira trabalho.
Cálculo numérico usando \eta=\dfrac{5}{8}:
Q_{Q}=\frac{1200}{0,625}=\frac{1200}{5/8}=1200\times\frac{8}{5}=1200\times1{,}6=1920\\ \mathrm{J}.

Passo 5

(d) Energia liberada para a fonte fria por ciclo ( \left|Q_{F}\right|).
Conservação de energia por ciclo (primeira lei da termodinâmica aplicada ao ciclo): o calor recebido menos o calor rejeitado é o trabalho realizado:
Q_{Q}-Q_{F}=W \quad\Rightarrow\quad Q_{F}=Q_{Q}-W.
Cálculo numérico:
Q_{F}=1920-1200=720\\ \mathrm{J}.

Passo 6

(e) Variação da entropia da substância de trabalho devido ao calor recebido da fonte quente.
Conceito e fórmula: para uma transferência de calor reversível Q a uma temperatura T a variação de entropia é
\Delta S=\frac{Q}{T}.
Aqui, ao receber Q_{Q} da fonte quente a temperatura da fonte quente é T_{Q}, e a transferência é reversível num ciclo de Carnot, logo a variação de entropia da substância de trabalho ao receber esse calor é
\Delta S_{\text{recebida}}=\frac{Q_{Q}}{T_{Q}}.
Cálculo numérico:
\Delta S_{\text{recebida}}=\frac{1920}{800}=2{,}4\\ \mathrm{J/K}.
Observação sobre o sinal: é positivo porque a substância de trabalho recebe calor.

Passo 7

(f) Variação da entropia da substância de trabalho devido ao calor cedido à fonte fria.
Pelo mesmo raciocínio reversível, quando a substância de trabalho entrega Q_{F} à temperatura T_{F} a variação de entropia da substância de trabalho é
\Delta S_{\text{cedida}}=-\frac{Q_{F}}{T_{F}}.
Explicação do sinal: é negativa porque a substância de trabalho perde calor.
Cálculo numérico:
\Delta S_{\text{cedida}}=-\frac{720}{300}=-2{,}4\\ \mathrm{J/K}.

Passo 8

Checagem rápida (intuição final): como é uma máquina de Carnot (processo reversível), a variação total de entropia da substância de trabalho no ciclo fecha em zero:
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{\text{recebida}}+\Delta S_{\text{cedida}}=2{,}4+(-2{,}4)=0,
o que é consistente com reversibilidade. Segura aí — tudo batendo certinho!

Resposta

(a) \eta=62{,}5\%
(b) P=4800\\ \mathrm{W}
(c) \left|Q_{Q}\right|=1920\\ \mathrm{J}
(d) \left|Q_{F}\right|=720\\ \mathrm{J}
(e) \Delta S_{\text{recebida}}=2{,}4\\ \mathrm{J/K}
(f) \Delta S_{\text{cedida}}=-2{,}4\\ \mathrm{J/K}

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