22.5 O campo elétrico a uma distância de 0.145 m da superfície de uma esfera isolante maciça, com raio igual a 0.355 m , é de 1750 \mathrm{~N} / \mathrm{C}. Suponha que a carga da esfera esteja uniformemente distribuída.
a) Utilizando a Lei de Gauss, encontre a expressão do campo elétrico para um ponto fora da esfera a uma distância r do centro dela, em termos da carga Q da esfera.
b) Repita o item anterior para dentro da esfera (deixe sua resposta em termos da carga Q da esfera, do raio da esfera R e da distância r do centro dela).
c) Qual é a densidade da carga da esfera?
d) Calcule o campo elétrico no interior da esfera a uma distância de 0.200 m do centro.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Dados fornecidos:
    • Raio da esfera: R=0,355\\ \mathrm{m}.
    • A distância informada é 0,145\\ \mathrm{m} a partir da superfície da esfera; portanto a distância do ponto ao centro da esfera (para o dado do campo) é
    r_{\text{dado}}=R+0,145=0,355+0,145=0,500\\ \mathrm{m}.
    • Campo elétrico nesse ponto: E(r_{\text{dado}})=1750\\ \mathrm{N/C}.
    • A carga total da esfera é Q (desconhecida) e está distribuída uniformemente no volume da esfera (esfera isolante maciça, distribuição volumétrica uniforme).
  • O enunciado pede:
    (a) Expressão do campo elétrico para um ponto fora da esfera em função de Q e da distância r ao centro.
    (b) Expressão do campo elétrico para um ponto dentro da esfera (em termos de Q, R e r).
    (c) A densidade de carga volumétrica \rho da esfera.
    (d) O campo elétrico no interior da esfera a uma distância r=0,200\\ \mathrm{m} do centro.

Passo 2

Conceito e fórmula fundamental (aula rápida e prática): Lei de Gauss para eletrostática.
  • A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada qualquer é igual à carga total dentro dessa superfície dividida por \varepsilon_0:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
Aqui \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, \varepsilon_0\approx 8,85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}.
  • Para uma esfera com simetria esférica (carga distribuída de forma esférica ou esfera com carga concentrada no centro efetivo), escolher uma superfície gaussiana esférica coaxial de raio r facilita muito: \mathbf{E} é radial e tem módulo constante sobre a esfera. Então o lado esquerdo vira
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^2.
  • Da Lei de Gauss então vem a fórmula geral
E(r)=\frac{Q_{\text{int}}}{4\pi\varepsilon_0\,r^2},
onde Q_{\text{int}} é a carga contida dentro da esfera de raio r. Isso vale para qualquer r, contanto que se use o Q_{\text{int}} correto (total Q se r\ge R; fração do volume se r<R).

Passo 3

Item (a) — campo fora da esfera ( r\ge R), usando Gauss.
  • Para r\ge R toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana; logo Q_{\text{int}}=Q.
  • Substituindo na fórmula da Lei de Gauss obtemos a expressão pedida:
\boxed{\,E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r^2},\qquad r\ge R.\,}
  • Explicação do que cada símbolo significa:
    • E(r) é o módulo do campo elétrico no ponto a distância r do centro;
    • Q é a carga total da esfera;
    • \varepsilon_0 é a constante do vácuo;
    • r é a distância do centro até o ponto onde se calcula E.

Passo 4

Item (b) — campo dentro da esfera ( r<R), passo a passo e por que o resultado sai proporcional a r.
  • Como a carga está uniformemente distribuída no volume, a densidade volumétrica de carga (ainda em termos de Q) é
\rho=\frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^3}.
Isto significa que, em qualquer sub-esfera de raio r<R, a carga contida é a densidade vezes o volume dessa sub-esfera:
Q_{\text{int}}(r)=\rho\cdot \frac{4}{3}\pi r^3 =\frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^3}\cdot \frac{4}{3}\pi r^3 =Q\frac{r^3}{R^3}.
  • Agora aplicamos Gauss para uma superfície de raio r<R:
E(r)\cdot 4\pi r^2=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_0}=\frac{Q}{\varepsilon_0}\frac{r^3}{R^3}.
  • Isolando E(r):
\boxed{\,E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q\,r}{R^3},\qquad r<R.\,}
  • Observação didática: dentro da esfera o campo cresce linearmente com r (porque mais carga entra na superfície gaussiana quando r aumenta), enquanto fora ele decai como 1/r^2.

Passo 5

Calcular a carga total Q usando o dado numérico (precisamos de Q para os itens seguintes).
  • Usamos a expressão para fora ( r\ge R):
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}\quad\Rightarrow\quad Q=4\pi\varepsilon_0\,E(r)\,r^2.
  • Vamos calcular em números. É prático usar k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}. Assim
Q=\frac{E(r)\,r^2}{k}.
  • Substituindo E(r_{\text{dado}})=1750\\ \mathrm{N/C} e r_{\text{dado}}=0,500\\ \mathrm{m}:
r_{\text{dado}}^2=(0,500)^2=0,250\\ \mathrm{m^2},
E r^2 =1750\times 0,250=437,5.
Q=\frac{437,5}{8,99\times10^{9}} \approx 4,87\times10^{-8}\\ \mathrm{C}.
  • Observação: o sinal de Q segue o sentido do campo; como o dado deu E positivo em direção radial para fora, assumimos Q>0.

Passo 6

Item (c) — densidade de carga volumétrica \rho.
  • Usamos \rho=\dfrac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^3}. Já calculamos Q e temos R.
  • Primeiro calcular R^3:
R^3=(0,355)^3\approx 0,0447389\\ \mathrm{m^3}.
  • Volume da esfera:
V=\tfrac{4}{3}\pi R^3\approx 4,18879\times 0,0447389\approx 0,1874\\ \mathrm{m^3}.
  • Portanto
\rho=\frac{4,87\times10^{-8}}{0,1874}\approx 2,60\times10^{-7}\\ \mathrm{C/m^3}.

Passo 7

Item (d) — campo elétrico no interior a r=0,200\\ \mathrm{m}.
  • Usamos a fórmula para r<R:
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q\,r}{R^3}.
  • Substituindo números (uso k=8,99\times10^{9}):
E(0,200)=k\frac{Q\cdot 0,200}{R^3}.
  • Já temos kQ\approx 8,99\times10^{9}\times 4,87\times10^{-8}\approx 437,49. Então
E(0,200)\approx \frac{437,49\times 0,200}{0,0447389}\approx 1\,956\\ \mathrm{N/C}.
  • Interpretação rápida e encorajamento: o campo no interior cresce linearmente com r, então esse valor faz sentido (menor que o valor na superfície, mas pode ser maior que o campo em pontos externos com r maiores, como o ponto a 0,5\\ \mathrm{m} do centro).

Resposta

(a) E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r^2},\quad r\ge R.
(b) E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q\,r}{R^3},\quad r<R.
(c) \rho\approx 2,60\times10^{-7}\\ \mathrm{C/m^3}.
(d) E(0,200\\ \mathrm{m})\approx 1,956\times10^{3}\\ \mathrm{N/C}.

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