22.5 O campo elétrico a uma distância de 0.145 m da superfície de uma esfera isolante maciça, com raio igual a 0.355 m , é de
. Suponha que a carga da esfera esteja uniformemente distribuída.
a) Utilizando a Lei de Gauss, encontre a expressão do campo elétrico para um ponto fora da esfera a uma distância
do centro dela, em termos da carga
da esfera.
b) Repita o item anterior para dentro da esfera (deixe sua resposta em termos da carga
da esfera, do raio da esfera
e da distância
do centro dela).
c) Qual é a densidade da carga da esfera?
d) Calcule o campo elétrico no interior da esfera a uma distância de 0.200 m do centro.
a) Utilizando a Lei de Gauss, encontre a expressão do campo elétrico para um ponto fora da esfera a uma distância
b) Repita o item anterior para dentro da esfera (deixe sua resposta em termos da carga
c) Qual é a densidade da carga da esfera?
d) Calcule o campo elétrico no interior da esfera a uma distância de 0.200 m do centro.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
-
Dados fornecidos:
- Raio da esfera:
. - A distância informada é
a partir da superfície da esfera; portanto a distância do ponto ao centro da esfera (para o dado do campo) é
- Campo elétrico nesse ponto:
. - A carga total da esfera é
(desconhecida) e está distribuída uniformemente no volume da esfera (esfera isolante maciça, distribuição volumétrica uniforme).
- Raio da esfera:
-
O enunciado pede:
(a) Expressão do campo elétrico para um ponto fora da esfera em função dee da distância ao centro.
(b) Expressão do campo elétrico para um ponto dentro da esfera (em termos de, e ).
(c) A densidade de carga volumétricada esfera.
(d) O campo elétrico no interior da esfera a uma distânciado centro.
Passo 2
Conceito e fórmula fundamental (aula rápida e prática): Lei de Gauss para eletrostática.
- A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada qualquer é igual à carga total dentro dessa superfície dividida por
:
Aqui
é a permissividade do vácuo,
.
- Para uma esfera com simetria esférica (carga distribuída de forma esférica ou esfera com carga concentrada no centro efetivo), escolher uma superfície gaussiana esférica coaxial de raio
facilita muito: é radial e tem módulo constante sobre a esfera. Então o lado esquerdo vira
- Da Lei de Gauss então vem a fórmula geral
onde
é a carga contida dentro da esfera de raio
. Isso vale para qualquer
, contanto que se use o
correto (total
se
; fração do volume se
).
Passo 3
Item (a) — campo fora da esfera (
), usando Gauss.
- Para
toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana; logo . - Substituindo na fórmula da Lei de Gauss obtemos a expressão pedida:
- Explicação do que cada símbolo significa:
-
é o módulo do campo elétrico no ponto a distância do centro; -
é a carga total da esfera; -
é a constante do vácuo; -
é a distância do centro até o ponto onde se calcula .
-
Passo 4
Item (b) — campo dentro da esfera (
), passo a passo e por que o resultado sai proporcional a
.
- Como a carga está uniformemente distribuída no volume, a densidade volumétrica de carga (ainda em termos de
) é
Isto significa que, em qualquer sub-esfera de raio
, a carga contida é a densidade vezes o volume dessa sub-esfera:
- Agora aplicamos Gauss para uma superfície de raio
:
- Isolando
:
- Observação didática: dentro da esfera o campo cresce linearmente com
(porque mais carga entra na superfície gaussiana quando aumenta), enquanto fora ele decai como .
Passo 5
Calcular a carga total
usando o dado numérico (precisamos de
para os itens seguintes).
- Usamos a expressão para fora (
):
- Vamos calcular em números. É prático usar
. Assim
- Substituindo
e :
- Observação: o sinal de
segue o sentido do campo; como o dado deu positivo em direção radial para fora, assumimos .
Passo 6
Item (c) — densidade de carga volumétrica
.
- Usamos
. Já calculamos e temos . - Primeiro calcular
:
- Volume da esfera:
- Portanto
Passo 7
Item (d) — campo elétrico no interior a
.
- Usamos a fórmula para
:
- Substituindo números (uso
):
- Já temos
. Então
- Interpretação rápida e encorajamento: o campo no interior cresce linearmente com
, então esse valor faz sentido (menor que o valor na superfície, mas pode ser maior que o campo em pontos externos com maiores, como o ponto a do centro).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)