Q4. ( 2,5 pontos). Uma lente delgada convergente possui comprimento focal f=10 \mathrm{~cm}. Um objeto real é colocado sobre o eixo principal da lente a um comprimento de 15 cm da lente.
a) Determine a posição da imagem formada (1,0 pts) .
b) Calcule a ampliação linear do sistema (0,7 pts) .
c) Explique como a posição e a natureza da imagem mudariam se o objeto fosse colocado a um comprimento menor que a comprimento focal ( 0,8 pts) .

Passo 1

O enunciado dá uma lente delgada convergente com comprimento focal f=10\\ \mathrm{cm} e um objeto real colocado sobre o eixo principal a uma distância 15\\ \mathrm{cm} da lente. O que é pedido:
  • (a) Determinar a posição da imagem formada (distância da imagem em relação à lente).
  • (b) Calcular a ampliação linear do sistema.
  • (c) Explicar como mudam a posição e a natureza da imagem se o objeto for colocado a uma distância menor que o comprimento focal.
Informações relevantes fornecidas:
  • \;f=10\\ \mathrm{cm}.
  • \;s=15\\ \mathrm{cm} (distância do objeto até a lente; é um objeto real, então s>0).
  • Lente convergente (portanto f>0).

Passo 2

Apresentar a fórmula que vamos usar e explicar cada símbolo (aula rápida sobre a fórmula da lente delgada).
A fórmula da lente delgada relaciona a distância do objeto s, a distância da imagem s' e a distância focal f:
\frac{1}{f}=\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}.
Significado dos símbolos e convenção de sinais que usarei aqui:
  • \;f é a distância focal da lente. Para lente convergente, \;f>0.
  • \;s é a distância do objeto até o vértice da lente. Para objeto real à esquerda da lente tomo \;s>0.
  • \;s' é a distância da imagem até a lente. Se \;s'>0 a imagem é real e está do lado oposto ao objeto (lado onde os raios convergem). Se \;s'<0 a imagem é virtual e está do mesmo lado do objeto.
    Breve justificativa física: a fórmula vem da geometria das raias e da aproximação de pequenas angulações (para lentes delgadas). Não é preciso derivar aqui para aplicar; só é importante entender o que cada sinal indica sobre a natureza da imagem.

Passo 3

Calcular a posição da imagem para \;s=15\\ \mathrm{cm} e \;f=10\\ \mathrm{cm}.
Começo isolando \;s' na fórmula:
\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}-\frac{1}{s}.
Substituo os valores numéricos:
\frac{1}{s'}=\frac{1}{10}-\frac{1}{15}.
Faço as contas com frações: \dfrac{1}{10}=\dfrac{3}{30} e \dfrac{1}{15}=\dfrac{2}{30}, então
\frac{1}{s'}=\frac{3}{30}-\frac{2}{30}=\frac{1}{30}.
Logo
s'=30\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Interpretar o resultado da posição da imagem.
  • Obtivemos \;s'=30\\ \mathrm{cm}>0. Pelo critério de sinais explicado, isso significa que a imagem é real e está situada no lado oposto ao objeto, a 30\\ \mathrm{cm} da lente ao longo do eixo principal.
  • Imagens reais podem ser projetadas numa tela; elas são formadas pelo encontro real dos raios refratados.

Passo 5

Definir e calcular a ampliação linear (magnificação) e interpretar o sinal.
A ampliação linear m (razão entre altura da imagem h' e altura do objeto h) para uma lente delgada é dada por:
m=\frac{h'}{h}=-\frac{s'}{s}.
Explicando: o fator negativo surge porque quando a imagem é real e está do lado oposto à lente, ela fica invertida em relação ao objeto; um m negativo indica essa inversão. O valor absoluto |m| indica quanto a imagem foi ampliada ou reduzida em tamanho linear.
Substituo os valores:
m=-\frac{s'}{s}=-\frac{30}{15}=-2.
Interpretação: \;m=-2 significa que a imagem é invertida (por causa do sinal negativo) e tem tamanho linear duas vezes maior que o objeto (fator de ampliação 2).

Passo 6

Explicar como mudam posição e natureza da imagem se o objeto for colocado a uma distância s menor que f (ou seja, \;s<f).
Faço isso tanto por argumento algébrico quanto por argumento físico (raios), e dou um exemplo numérico para fixar a ideia.
  1. Argumento algébrico usando a fórmula:
\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}-\frac{1}{s}.
Se \;s<f então \;\frac{1}{s}>\frac{1}{f}, portanto \;\frac{1}{f}-\frac{1}{s}<0. Isso implica \;\frac{1}{s'}<0 e, consequentemente, \;s'<0. Pelo critério de sinais, \;s'<0 significa que a imagem é virtual e está do mesmo lado do objeto (os raios não convergem fisicamente; parecem divergir de um ponto atrás da lente).
  1. Consequências sobre ampliação:
    A ampliação é \;m=-\dfrac{s'}{s}. Se \;s'<0 então m será positivo, portanto a imagem será direita (não invertida). Além disso, para s<f o valor absoluto |m|=\dfrac{|s'|}{s} normalmente é maior que 1, ou seja, a imagem é ampliada (maior que o objeto). Isso ocorre porque, conforme s se aproxima de f por valores menores, |s'| cresce muito (tendendo a infinito quando s\to f^-), então a imagem virtual fica cada vez mais ampliada.
  2. Exemplo numérico para clarear:
    Escolho \;s=8\\ \mathrm{cm} (menor que f=10\\ \mathrm{cm}). Calculo
\frac{1}{s'}=\frac{1}{10}-\frac{1}{8}=\frac{4}{40}-\frac{5}{40}=-\frac{1}{40},
logo
s'=-40\\ \mathrm{cm}.
A ampliação é
m=-\frac{s'}{s}=-\frac{-40}{8}=5.
Interpretação do exemplo: a imagem está a 40\\ \mathrm{cm} do lado do objeto (sinal negativo indica mesmo lado), é virtual, direita (não invertida) e ampliada por um fator 5. Esse exemplo concreto ajuda a visualizar o comportamento geral.
  1. Descrição em linguagem de raios (intuitiva): para objeto dentro da distância focal, os raios que saem do objeto atravessam a lente e divergem; estendendo esses raios para trás da lente, eles parecem sair de um ponto comum — esse ponto é a imagem virtual, do mesmo lado do objeto. Como a lente não permite que os raios realmente se encontrem do outro lado, a imagem é virtual e não pode ser projetada numa tela.

Passo 7

Resumo final curto (pré‑resposta): com o objeto a 15\\ \mathrm{cm} (maior que f) a imagem é real, invertida, situada a 30\\ \mathrm{cm} do lado oposto; a ampliação é -2 (invertida e duas vezes maior). Se o objeto fosse colocado a uma distância menor que f, a imagem seria virtual, direita e ampliada, localizada do mesmo lado do objeto (distância dada pela mesma fórmula, que produz s'<0).

Resposta

(a) s'=30\\ \mathrm{cm} (imagem real, formada no lado oposto à lente).
(b) m=-2 (imagem invertida e com tamanho linear duas vezes o do objeto).
(c) Para s<f a fórmula dá s'<0: a imagem passa a ser virtual, direita (não invertida) e ampliada, aparecendo do mesmo lado do objeto (distância dada por s'=\dfrac{fs}{\,s-f\,}, que é negativa quando s<f).

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