Q4. ( 2,5 pontos). Uma lente delgada convergente possui comprimento focal
. Um objeto real é colocado sobre o eixo principal da lente a um comprimento de 15 cm da lente.
a) Determine a posição da imagem formada (1,0 pts) .
b) Calcule a ampliação linear do sistema (0,7 pts) .
c) Explique como a posição e a natureza da imagem mudariam se o objeto fosse colocado a um comprimento menor que a comprimento focal ( 0,8 pts) .
a) Determine a posição da imagem formada (1,0 pts) .
b) Calcule a ampliação linear do sistema (0,7 pts) .
c) Explique como a posição e a natureza da imagem mudariam se o objeto fosse colocado a um comprimento menor que a comprimento focal ( 0,8 pts) .
Passo 1
O enunciado dá uma lente delgada convergente com comprimento focal
e um objeto real colocado sobre o eixo principal a uma distância
da lente. O que é pedido:
- (a) Determinar a posição da imagem formada (distância da imagem em relação à lente).
- (b) Calcular a ampliação linear do sistema.
- (c) Explicar como mudam a posição e a natureza da imagem se o objeto for colocado a uma distância menor que o comprimento focal.
Informações relevantes fornecidas:
-
-
(distância do objeto até a lente; é um objeto real, então ). - Lente convergente (portanto
).
Passo 2
Apresentar a fórmula que vamos usar e explicar cada símbolo (aula rápida sobre a fórmula da lente delgada).
A fórmula da lente delgada relaciona a distância do objeto , a distância da imagem
e a distância focal
:
A fórmula da lente delgada relaciona a distância do objeto
Significado dos símbolos e convenção de sinais que usarei aqui:
-
é a distância focal da lente. Para lente convergente, . -
é a distância do objeto até o vértice da lente. Para objeto real à esquerda da lente tomo . -
é a distância da imagem até a lente. Se a imagem é real e está do lado oposto ao objeto (lado onde os raios convergem). Se a imagem é virtual e está do mesmo lado do objeto.
Breve justificativa física: a fórmula vem da geometria das raias e da aproximação de pequenas angulações (para lentes delgadas). Não é preciso derivar aqui para aplicar; só é importante entender o que cada sinal indica sobre a natureza da imagem.
Passo 3
Calcular a posição da imagem para
e
.
Começo isolando na fórmula:
Começo isolando
Substituo os valores numéricos:
Faço as contas com frações:
e
, então
Logo
Passo 4
Interpretar o resultado da posição da imagem.
- Obtivemos
. Pelo critério de sinais explicado, isso significa que a imagem é real e está situada no lado oposto ao objeto, a da lente ao longo do eixo principal. - Imagens reais podem ser projetadas numa tela; elas são formadas pelo encontro real dos raios refratados.
Passo 5
Definir e calcular a ampliação linear (magnificação) e interpretar o sinal.
A ampliação linear (razão entre altura da imagem
e altura do objeto
) para uma lente delgada é dada por:
A ampliação linear
Explicando: o fator negativo surge porque quando a imagem é real e está do lado oposto à lente, ela fica invertida em relação ao objeto; um
negativo indica essa inversão. O valor absoluto
indica quanto a imagem foi ampliada ou reduzida em tamanho linear.
Substituo os valores:
Interpretação:
significa que a imagem é invertida (por causa do sinal negativo) e tem tamanho linear duas vezes maior que o objeto (fator de ampliação
).
Passo 6
Explicar como mudam posição e natureza da imagem se o objeto for colocado a uma distância
menor que
(ou seja,
).
Faço isso tanto por argumento algébrico quanto por argumento físico (raios), e dou um exemplo numérico para fixar a ideia.
Faço isso tanto por argumento algébrico quanto por argumento físico (raios), e dou um exemplo numérico para fixar a ideia.
- Argumento algébrico usando a fórmula:
Se
então
, portanto
. Isso implica
e, consequentemente,
. Pelo critério de sinais,
significa que a imagem é virtual e está do mesmo lado do objeto (os raios não convergem fisicamente; parecem divergir de um ponto atrás da lente).
-
Consequências sobre ampliação:
A ampliação é. Se então será positivo, portanto a imagem será direita (não invertida). Além disso, para o valor absoluto normalmente é maior que , ou seja, a imagem é ampliada (maior que o objeto). Isso ocorre porque, conforme se aproxima de por valores menores, cresce muito (tendendo a infinito quando ), então a imagem virtual fica cada vez mais ampliada. -
Exemplo numérico para clarear:
Escolho(menor que ). Calculo
logo
A ampliação é
Interpretação do exemplo: a imagem está a
do lado do objeto (sinal negativo indica mesmo lado), é virtual, direita (não invertida) e ampliada por um fator
. Esse exemplo concreto ajuda a visualizar o comportamento geral.
- Descrição em linguagem de raios (intuitiva): para objeto dentro da distância focal, os raios que saem do objeto atravessam a lente e divergem; estendendo esses raios para trás da lente, eles parecem sair de um ponto comum — esse ponto é a imagem virtual, do mesmo lado do objeto. Como a lente não permite que os raios realmente se encontrem do outro lado, a imagem é virtual e não pode ser projetada numa tela.
Passo 7
Resumo final curto (pré‑resposta): com o objeto a
(maior que
) a imagem é real, invertida, situada a
do lado oposto; a ampliação é
(invertida e duas vezes maior). Se o objeto fosse colocado a uma distância menor que
, a imagem seria virtual, direita e ampliada, localizada do mesmo lado do objeto (distância dada pela mesma fórmula, que produz
).
Resposta
(a)
(imagem real, formada no lado oposto à lente).
(b) (imagem invertida e com tamanho linear duas vezes o do objeto).
(c) Para a fórmula dá
: a imagem passa a ser virtual, direita (não invertida) e ampliada, aparecendo do mesmo lado do objeto (distância dada por
, que é negativa quando
).
(b)
(c) Para