) Mostre que
e
são ortogonais se, somente se,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que dois vetores
e
são ortogonais (isto é, formam ângulo de 90° entre si) se, e somente se, o produto escalar deles for zero. O conteúdo aqui envolve definição de produto escalar em termos de norma e cosseno do ângulo entre vetores e a definição de vetores ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as definições: o produto escalar de
e
é dado por
onde
é o ângulo entre eles. E dizemos que
e
são ortogonais quando
(ou
radianos).
Passo 3
Para mostrar “se
e
são ortogonais então
”: como são ortogonais, temos
e
. Substituindo na fórmula do produto escalar fica
Passo 4
Para mostrar “se
então
e
são ortogonais”: partindo de
, pela fórmula do produto escalar podemos escrever
Se
e
são não nulas, isso força
, logo
. Portanto,
e
são ortogonais.
Passo 5
Juntando as duas implicações concluímos que
e
são ortogonais se, e somente se, o produto escalar
for zero.
Resposta
Portanto, concluímos que
e
são ortogonais se, e somente se,
.