22^circ ) Mostre que u e v são ortogonais se, somente se, u cdot v=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que dois vetores u e v são ortogonais (isto é, formam ângulo de 90° entre si) se, e somente se, o produto escalar deles for zero. O conteúdo aqui envolve definição de produto escalar em termos de norma e cosseno do ângulo entre vetores e a definição de vetores ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as definições: o produto escalar de u e v é dado por
ucdotv=|u|,|v|costheta,
onde theta é o ângulo entre eles. E dizemos que u e v são ortogonais quando theta=90^circ (ou pi/2 radianos).

Passo 3

Para mostrar “se u e v são ortogonais então ucdotv=0”: como são ortogonais, temos theta=90^circ e cos90^circ=0. Substituindo na fórmula do produto escalar fica
ucdotv=|u|,|v|cdot0=0

Passo 4

Para mostrar “se ucdotv=0 então u e v são ortogonais”: partindo de ucdotv=0, pela fórmula do produto escalar podemos escrever
0=|u|,|v|costheta
Se |u| e |v| são não nulas, isso força costheta=0, logo theta=90^circ. Portanto, u e v são ortogonais.

Passo 5

Juntando as duas implicações concluímos que u e v são ortogonais se, e somente se, o produto escalar ucdotv for zero.

Resposta

Portanto, concluímos que u e v são ortogonais se, e somente se, ucdotv=0.

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