Dada a edo
e^x^3+sen(y)+x3 cos (y) d yd x=0
Encontre a solução que satisfaz o pvi y(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial de primeira ordem não linear e pede a solução que satisfaz o pvi y(0)=0. Vamos usar o método de equações exatas e, se necessário, um fator integrante.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma diferencial M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0. Aqui temos
M(x,y)=e^x^3+sin y, N(x,y)=x3cos y

Passo 3

Verificamos se é exata, isto é, se partial M/partial y=partial N/partial x:
partial Mpartial y=cos y, partial Npartial x=13cos y
Como não são iguais, procuramos um fator integrante que dependa só de x. Calculamos
partial M/partial y-partial N/partial xN= cos y-tfrac13cos ytfracx3cos y= tfrac23cos ytfracx3cos y=2x
Isso depende apenas de x, logo o fator integrante é
mu(x)=expl(integral2xdxr)=x^2

Passo 4

Multiplicamos a equação original por x^2. Os novos termos são
widetilde M(x,y)=x^2e^x^3+x^2sin y, widetilde N(x,y)=x^33cos y,
e agora é exata, pois
partialwidetilde Mpartial y=x^2cos y, partialwidetilde Npartial x=x^2cos y

Passo 5

Existe uma função potencial psi(x,y) tal que
partialpsipartial x=widetilde M, partialpsipartial y=widetilde N
Integramos partialpsi/partial x em relação a x:
psi(x,y)=integrall(x^2e^x^3+x^2sin yr)dx =13e^x^3+x^33sin y+h(y)

Passo 6

Para determinar h(y), igualamos partialpsi/partial y a widetilde N:
partialpsipartial y=x^33cos y+h'(y)=x^33cos y
Isso dá h'(y)=0, logo h(y)=C1 constante. A solução implícita geral é
13e^x^3+x^33sin y=C2

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(0)=0. Em x=0 e y=0 temos
tfrac13e^0+0=C2implies C2=tfrac13
Multiplicando tudo por 3 para simplificar, obtemos a solução implícita final:

Passo 8

e^x^3+x^3sin y=1

Resposta

A solução do pvi é dada implicitamente por \n
e{x3} + x^3 \sin y = 1.

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