Dada a edo
Encontre a solução que satisfaz o pvi
.
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial de primeira ordem não linear e pede a solução que satisfaz o pvi
. Vamos usar o método de equações exatas e, se necessário, um fator integrante.
Passo 2
Reescrevemos a equação na forma diferencial
. Aqui temos
Passo 3
Verificamos se é exata, isto é, se
:
Como não são iguais, procuramos um fator integrante que dependa só de
. Calculamos
Isso depende apenas de
, logo o fator integrante é
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Os novos termos são
e agora é exata, pois
Passo 5
Existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
Passo 6
Para determinar
, igualamos
a
:
Isso dá
, logo
constante. A solução implícita geral é
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
. Em
e
temos
Multiplicando tudo por 3 para simplificar, obtemos a solução implícita final:
Passo 8
Resposta
A solução do pvi é dada implicitamente por \n
e{x3} + x^3 \sin y = 1.
e{x3} + x^3 \sin y = 1.