Dada a edo
Encontre a solução geral.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
[-2pt]
-2y + \Bigl(x + \frac{y^3}{x}\Bigr)\frac{dy}{dx} = 0
[-2pt]
ou, equivalentemente,
[-2pt]
\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{x^2 + y^3}.
Conteúdo: equações diferenciais de primeira ordem e técnicas de substituição para torná-la separável.
-2y + \Bigl(x + \frac{y^3}{x}\Bigr)\frac{dy}{dx} = 0
[-2pt]
ou, equivalentemente,
[-2pt]
\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{x^2 + y^3}.
Conteúdo: equações diferenciais de primeira ordem e técnicas de substituição para torná-la separável.
Passo 2
Para facilitar, vamos usar a substituição
[-2pt]
\displaystyle y = x^{2/3} ,u(x).
Isso é motivado pelo fato de aparecerem os termos e
na mesma combinação
.
\displaystyle y = x^{2/3} ,u(x).
Isso é motivado pelo fato de aparecerem os termos
Passo 3
Calculamos
[-2pt]
\displaystyle y = x^{2/3}u \quad\Longrightarrow\quad
\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2}{3}x^{-1/3}u + x^{2/3}\frac{du}{dx}.
\displaystyle y = x^{2/3}u \quad\Longrightarrow\quad
\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2}{3}x^{-1/3}u + x^{2/3}\frac{du}{dx}.
Passo 4
Substituímos em
:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
dá
Rearranjando
Passo 6
Agora é separável em
e
:
Fazemos a decomposição em frações parciais de
e integramos:
O resultado é
Passo 7
Elevamos exponencial e simplificamos (redefinindo constante) em
Passo 8
Voltando a
u = y/x^2/3 e usando
u^3 = y^3/x^2 , obtemos
Multiplicando, fica
onde
K é constante arbitrária.
Passo 9
Resposta
Solução geral implícita:
com
K constante de integração.