Dada a edo
-2 y+(x+y^3x) d yd x=0
Encontre a solução geral.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
[-2pt]
-2y + \Bigl(x + \frac{y^3}{x}\Bigr)\frac{dy}{dx} = 0
[-2pt]
ou, equivalentemente,
[-2pt]
\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{x^2 + y^3}.
Conteúdo: equações diferenciais de primeira ordem e técnicas de substituição para torná-la separável.

Passo 2

Para facilitar, vamos usar a substituição
[-2pt]
\displaystyle y = x^{2/3} ,u(x).
Isso é motivado pelo fato de aparecerem os termos x^2 e y^3 na mesma combinação x^2 + y^3.

Passo 3

Calculamos
[-2pt]
\displaystyle y = x^{2/3}u \quad\Longrightarrow\quad
\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2}{3}x^{-1/3}u + x^{2/3}\frac{du}{dx}.

Passo 4

Substituímos em dydx = 2xyx^2 + y^3:
23x^-1/3u + x^2/3dudx = 2xl(x^2/3ur)x^2 + (x^2/3u)^3 = 2x^5/3ux^2 + x^2u^3 = 2x^-1/3u1+u^3

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por x^1/3
23u + xdudx = 2u1+u^3
Rearranjando
xdudx = 2u1+u^3 - 23u = 2u1+u^3 ;- ; 2u3 = 2u(2 - u^3)3(1+u^3)

Passo 6

Agora é separável em u e x:
3(1+u^3)u(2-u^3),du = 2,dxx
Fazemos a decomposição em frações parciais de 1+u^3u(2-u^3) e integramos:
integral 3(1+u^3)u(2-u^3),du = integral 2,dxx
O resultado é
32lngl|u2-u^3gr| = 2ln|x| + C1

Passo 7

Elevamos exponencial e simplificamos (redefinindo constante) em
lnl|u2-u^3r| = 43ln|x| + C2 Longrightarrow u2-u^3 = Cx^4/3

Passo 8

Voltando a u = y/x^2/3 e usando u^3 = y^3/x^2, obtemos
y/x^2/32 - y^3/x^2 = Cx^4/3 Longrightarrow y2x^2 - y^3 = C
Multiplicando, fica
2x^2 - y^3 = K y,
onde K é constante arbitrária.

Passo 9

Resposta

Solução geral implícita:
y^3 + K y - 2x^2 = 0,
com K constante de integração.

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