) Suponha que a temperatura num ponto (
) do espaço seja dada por
onde
é medido em graus Celsius e
em metros.
a) Em direção a partir do ponto
a temperatura aumenta mais rapidamente?
b) Qual a taxa máxima de aumento?
a) Em direção a partir do ponto
b) Qual a taxa máxima de aumento?
Passo 1
O enunciado dá a temperatura
e pede (a) a direção de crescimento mais rápido partindo de
e (b) a taxa máxima de aumento. Vamos usar o conceito de gradiente: a direção de máximo aumento é a direção do vetor
e a taxa máxima é
.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de
. Como
usamos a regra da cadeia para obter
Passo 3
Avaliar
em
. Primeiro o denominador
Logo
Assim
Passo 4
Determinar a direção de máximo aumento: é o versor de
. Note que
é paralelo a
. Normalizando este vetor, obtemos
Passo 5
Calcular a magnitude de
, que é a taxa máxima de aumento:
Resposta
(a) A direção de aumento máximo em
é o versor
(b) A taxa máxima de aumento é