22^{\circ} ) Suponha que a temperatura num ponto ( x, y, z ) do espaço seja dada por T(x, y, z)=\frac{80}{1+x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}} onde T é medido em graus Celsius e x, y, z em metros.
a) Em direção a partir do ponto (-1,-1,2) a temperatura aumenta mais rapidamente?
b) Qual a taxa máxima de aumento?

Passo 1

O enunciado dá a temperatura
T(x,y,z)=\frac{80}{1+x^{2}+2y^{2}+3z^{2}}
e pede (a) a direção de crescimento mais rápido partindo de (-1,-1,2) e (b) a taxa máxima de aumento. Vamos usar o conceito de gradiente: a direção de máximo aumento é a direção do vetor \nabla T e a taxa máxima é \|\nabla T\|.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de T. Como
T(x,y,z)=80\,(1+x^{2}+2y^{2}+3z^{2})^{-1},
usamos a regra da cadeia para obter
\frac{\partial T}{\partial x} =-80\cdot(1+x^{2}+2y^{2}+3z^{2})^{-2}\cdot 2x =-\frac{160\,x}{(1+x^{2}+2y^{2}+3z^{2})^{2}},
\frac{\partial T}{\partial y} =-80\cdot(1+x^{2}+2y^{2}+3z^{2})^{-2}\cdot 4y =-\frac{320\,y}{(1+x^{2}+2y^{2}+3z^{2})^{2}},
\frac{\partial T}{\partial z} =-80\cdot(1+x^{2}+2y^{2}+3z^{2})^{-2}\cdot 6z =-\frac{480\,z}{(1+x^{2}+2y^{2}+3z^{2})^{2}}.

Passo 3

Avaliar \nabla T em (-1,-1,2). Primeiro o denominador
D=1+(-1)^{2}+2\cdot(-1)^{2}+3\cdot2^{2}=1+1+2+12=16.
Logo
\frac{\partial T}{\partial x}(-1,-1,2) =-\frac{160\cdot(-1)}{16^{2}}=\frac{160}{256}=0{,}625,
\frac{\partial T}{\partial y}(-1,-1,2) =-\frac{320\cdot(-1)}{256}=\frac{320}{256}=1{,}25,
\frac{\partial T}{\partial z}(-1,-1,2) =-\frac{480\cdot2}{256}=-\frac{960}{256}=-3{,}75.
Assim
\nabla T(-1,-1,2)=(0{,}625,\;1{,}25,\;-3{,}75).

Passo 4

Determinar a direção de máximo aumento: é o versor de \nabla T. Note que (0{,}625,1{,}25,-3{,}75) é paralelo a (1,2,-6). Normalizando este vetor, obtemos
\mathbf{u} =\frac{1}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-6)^{2}}}\,(1,2,-6) =\frac{1}{\sqrt{41}}\,(1,2,-6).

Passo 5

Calcular a magnitude de \nabla T, que é a taxa máxima de aumento:
\|\nabla T(-1,-1,2)\| =\sqrt{0{,}625^{2}+1{,}25^{2}+(-3{,}75)^{2}} =\sqrt{\frac{1025}{64}} =\frac{\sqrt{1025}}{8}\approx 4{,}002.

Resposta

(a) A direção de aumento máximo em (-1,-1,2) é o versor
\frac{1}{\sqrt{41}}\,(1,2,-6).
(b) A taxa máxima de aumento é
\|\nabla T(-1,-1,2)\| =\frac{\sqrt{1025}}{8}\approx 4{,}002\\ (\text{\circC por metro}).

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