Em cada caso abaixo, determine a taxa de variação de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
f(x, y, z)=\frac{x}{y}+\frac{y}{z} no ponto (4,2,1).

Passo 1

No enunciado temos a função
f(x,y,z)=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}
e o ponto (4,2,1). O que se pede é a taxa de variação de f naquele ponto e a direção em que essa taxa máxima ocorre. O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais e derivada direcional.

Passo 2

Para uma função de várias variáveis, a derivada direcional de f na direção do vetor unitário u é dada por
D_{u}f(p)=\nabla f(p)\cdot u.
O máximo valor de D_{u}f ocorre quando u tem a mesma direção de \nabla f(p), e esse valor máximo é o módulo de \nabla f(p), ou seja \|\nabla f(p)\|.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y,z):
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\Bigr)=\frac{1}{y},
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\Bigr)=-\frac{x}{y^2}+\frac{1}{z},
f_z=\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\Bigr)=-\frac{y}{z^2}.

Passo 4

Avaliando essas derivadas em (4,2,1) obtemos:
f_x(4,2,1)=\frac{1}{2},\quad f_y(4,2,1)=-\frac{4}{2^2}+\frac{1}{1}= -1+1=0,\quad f_z(4,2,1)=-\frac{2}{1^2}=-2.
Logo,
\nabla f(4,2,1)=\Bigl(\tfrac{1}{2},\,0,\,-2\Bigr).

Passo 5

A taxa de variação máxima de f em (4,2,1) é o módulo de \nabla f(4,2,1):
\|\nabla f(4,2,1)\| =\sqrt{\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^2+0^2+(-2)^2} =\sqrt{\tfrac{1}{4}+4} =\frac{\sqrt{17}}{2}.
A direção em que isso ocorre é o vetor gradiente normalizado:
u =\frac{\nabla f(4,2,1)}{\|\nabla f(4,2,1)\|} =\Bigl(\tfrac{1}{2},0,-2\Bigr)\Big/\frac{\sqrt{17}}{2} =\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{17}},0,-\tfrac{4}{\sqrt{17}}\Bigr).

Resposta

A taxa de variação máxima de f em (4,2,1) é \tfrac{\sqrt{17}}{2} e ocorre na direção do vetor \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{17}},0,-\tfrac{4}{\sqrt{17}}\bigr).

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