Em cada caso abaixo, determine a taxa de variação de
no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
no ponto
.
Passo 1
No enunciado temos a função
e o ponto
. O que se pede é a taxa de variação de
naquele ponto e a direção em que essa taxa máxima ocorre. O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais e derivada direcional.
Passo 2
Para uma função de várias variáveis, a derivada direcional de
na direção do vetor unitário
é dada por
O máximo valor de
ocorre quando
tem a mesma direção de
, e esse valor máximo é o módulo de
, ou seja
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 4
Avaliando essas derivadas em
obtemos:
Logo,
Passo 5
A taxa de variação máxima de
em
é o módulo de
:
A direção em que isso ocorre é o vetor gradiente normalizado:
Resposta
A taxa de variação máxima de
em
é
e ocorre na direção do vetor
.